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;;模型描述;5.1 S的分布特征5.1.1 S的数字特征 ;?;解:由负二项分布的性质,
所以
;例2:;;5.1.2 计算S的分布的方法;(-)卷积法;其中,;例3:假设有一组保单组合,在单位时间内可能发生的理赔次数为0,1,2和3,相应的概率为0.1,0.3,0.4 和0.2,可能产生的理赔额为1,2,3,相应的概率为0.5,0.4和0.1,试计算理赔总量S的概率分布 ;;计算例子:;例4:已知总理赔额S的分布密度函数为
;;例5:设个别理赔额X分布服从指数分布,均值为q,理赔次数N服从二项式分布,求S的分布。
;?;;?;例6:;;(二) 矩母函数法和母函数法 ;例7: 设理赔额服从指数分布,均值为q。设理赔次数服从几何分布,参数为b。求S的分布。
;?;S的函数;(三)递推法 ;定理 如果N的分布属于(a,b,0)分布族,理赔额X取有限个整数值0,1,2,…,则总理赔额的分布为
;例8 设某险种的总理赔额服从复合泊松分布,平均理赔次数为0.2次,在任何一次理赔中,有80%的概率会损失5000元,有20%的概率会损失10000元。试计算保险人所面临的总理赔额的分布。
;如此递推下去,结果列入下表: ;例9:设总理赔额S的分布列为
已知E(S)=1.5,求理赔额变量X的期望E(X)。
;解:从S的分布知,S服从由复合泊松分布的递归公式
知X只取1、2、3,;;;;5.2 复合泊松分布及其性质;5.2.1 复合泊松分布的数字特征;复合泊松分布的计算公式;5.2.2 复合泊松分布的可加性;证明:设Si为参数li为的复合泊松分布,Si的矩母函数为
由于S1,…,Sn为相互独立的随机变量,因此的矩母函数为:
;设;例10:设S1服从复合泊松分布,
S2也服从复合泊松分布,
若S1和S2相互独立,求S=S1+S2的分布。
;解:S服从复合泊松分布,参数l=25,个别理赔额变量分布为;5.2.2 可分解性;?;设Ni表示第i类理赔事件发生的次数,则Ni是泊松分布, ;?;?;?;;Yi的分布密度为
;事实上,总损失S可以分解为: ;例11:某保险公司承保车险业务。已知总损失额服从复合泊松分布,每年的损失次数为30。每次损失额,无论何种车型,服从指数分布,均值为200。为减少理赔成本,保险公司拟对保单契约作如下修改:
(1)对某些车辆不再承保。预计这项修改将使损失次数减少20%。
(2)只赔偿超过100的部分损失额。
求经过这两项修改后该保险公司的总理赔额的期望。
;?;5.2.3个体风险模型的复合泊松分布近似(选讲);;;近似分布的均值和方差为;例12.某公司为14名员工购买了团体人身保险。保险公司的精算师选择了如下死亡表来代表该团体的死亡率。每个员工按他的工资水平(近似到1000)进行投保。具体资料如下:
;用复合泊松模型计算总赔付额的近似分布。
;;?;;5.3 S的近似分布;证明:;?;?;?;5.3.2 平移gamma近似
;?;?;;;5.4 保单条款对总理赔额的影响;?;?;;Yi的分布密度为
;事实上,总损失S可以分解为: ;总结:;;;;;;;;5.4.2 再保险条款对总理赔额的影响
;;;;;;;;;;;;;;
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