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人寿保险
1
孟生旺 张连增 刘乐平
教材：精算学基础，中国人民大学出版社，2016
主要内容
寿险的基本类型
保额在死亡时刻支付
寿险的一般类型
变额寿险的标准类型
递推公式
2
3
寿险的基本类型
终身寿险：投保期限直到死亡为止，在被保险人死亡年末给付1个单位。
现值变量： ,
趸缴净保费（精算现值）：
4
变量Z的方差：
代入 ，得
上式等价于在计算趸缴净保费时，把利息力变为原来的2倍，就得到二阶矩
因此，有时采用符号
注：
5
寿险的基本类型
n年期定期寿险：只对 n年内的死亡有1个单位给付，给付时间是死亡年末。
现值变量：
趸缴净保费：
与终身寿险类似，有：
6
寿险的基本类型
n年期生存保险：以n 年后被保险人生存为给付条件
现值变量：
趸缴净保费：
Z可以写成某个贝努里变量的 倍，从而有：
7
寿险的基本类型
n年期两全保险：如果被保险人在 n年内死亡，则在死亡年末给付1个单位；如果被保险人活过n 年，那么就在n 年末给付1个单位。
现值变量：
可视为n年期定期寿险与生存保险随机变量之和；
趸缴净保费：
8
n年期两全保险、n年期定期寿险、 n年期生存保险的现值变量分别记作
因为 ，
故
可见，卖出一份两全保险的风险要比分别向两人卖出一份定期寿险和一份生存保险的风险要小。
注：
9
寿险的基本类型
m年延期终身寿险：
现值变量：
趸缴净保费：
10
例：
已知 ， ， ，计算
解：
11
例：
假设 ， ， ，计算 和
解：由定义有
注意到
于是有
可得 ，
12
保额在死亡时刻支付
在前面，假设保额在被保险人死亡年末给付。
该假设的优点在于可直接利用生命表进行计算，缺点在于不能准确反映保险实践。
本节假设保额在死亡时刻T支付。
13
保额在死亡时刻支付
对终身寿险，现值变量
趸缴净保费
对于
假设K和S是独立的，而且S有均匀分布，那么
对定期寿险，有类似公式。
对于两全保险，
14
把一年等分成 个m个区间，假设保额在被保险人死亡时刻对应的那个区间末支付，即时刻 现值变量为
对于
假设 和 独立，且 均匀分布，那么
从而
令 趋于无穷，可得
注：
15
例：
已知 ， ， ，计算：
（1） ；
（2）签发给(40) 的25年期定期寿险，在时刻 t时的保险给付为 ，计算该寿险的精算现值。
解： ， ，
16
17
例：
已知 ， ， ，计算：
（1） ；
（2）计算现值变量的方差。
解：
（1）
（2）
随机变量方差为
18
19
寿险的一般类型
考虑保险金额随时间变化的寿险。
（假设保额在被保险人死亡年末或死亡时刻给付）
用 表示保单签发后第 年的保险金额，那么就有
，
设保额为 的函数 ，有
以及趸缴净保费
有了寿险的一般类型的概念和结构后，下一节就可以考虑一些特殊类型的寿险。
20
变额寿险的标准类型
假设保额在死亡年末给付。
递增终身寿险，
现值变量
趸缴净保费
递增的 年定期保险：
现值变量
趸缴净保费 为 的前 项之和。
21
变额寿险的标准类型
减额定期寿险，给付从 到0线性减少
现值变量
趸
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