全等三角形常用辅助线做法.docx

五种帮助线助你证全等姚全刚在证实三角形全等时偶然需添加帮助线，对学习多少证实不久得门生而言每每为难 点．下面先容 五种帮助线助你证全等 姚全刚 在证实三角形全等时偶然需添加帮助线，对学习多少证实不久得门生而言每每为难 点．下面先容证实全等时常见得五种帮助线，供同砚们学习时参考． 一、截长补短 一样平常地，当所证结论为线段得与、差干系，且这两条线段不在同不停线上时，通常可以 思量用截长补短得要领： 或在长线段上截取一局部使之与短线段相称； 或将短线段延伸使其 与长线段相称． 例 1．如图 AC=AE+CD ． 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别中分∠ BAC 、∠ ACB ．求证： 阐发：要证 证实 CF=CD ． ，AE 、CD 不在同不停线上．故在 AC 上截取 AF=AE ，就只要 AC=AE+CD 证实：在 AC 上截取 AF=AE ，毗连 OF． ∵ AD 、 CE 分别中分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 ° ∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °． 显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－〔∠ 4+ ∠ 5〕 =60 ° 在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC ∴△ DOC≌△ FOC， CF=CD ∴ AC=AF+CF=AE+CD ． 截长法与补短法，详细作法为在某条线段上截取一条线段与特定线段相称， 或为将某条线段延伸，使之与特定线段相称，再使用三角形全等得有关性子加 以阐明；这种作法，得当于证实线段得与、差、倍、分等类得标题； 第 1 页，共 14 页 例 2：如图甲， A 例 2：如图甲， AD∥BC，点 E在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ ECB； 求证： CD=AD+BC； 思绪阐发： 1〕题意阐发： 此题考察全等三角形常见帮助线得知识：截长法或补短法； 2〕解题思绪： 结论为 CD=AD+BC，可思量用"截长补短法"中得"截长"， 即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转化为证实两线段相称得问 题，从而到达简化题目得目得； 解答历程 ： 证实：在 CD上截取 CF=BC，如图乙 ∴△FCE≌△ BCE〔SAS〕， ∴∠ 2=∠1； 又∵AD∥BC， 第 2 页，共 14 页 ∴∠ADC+∠BCD=180°，∴ ∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴∠DCE+∠CDE=90°， ∴∠ 2+∠3=90°，∠ 1+∠4=90°， ∴∠ 3=∠4； 在△FDE与△ ADE中， ∴△FDE≌△ ADE〔ASA〕， ∴DF=DA， ∵CD=DF+CF， ∴CD=AD+BC； 解题后得思索： 碰到求证一条线段即是另两条线段之与时， 法或补短法： 一样平常要领为截长 截长：在长线段中截取一段即是另两条中得一条， 一条； 然后证实剩下局部即是另 补短：将一条短线段延伸，延伸局部即是另一条短线段，然后证实新线段等 于长线段； 1〕对付证实有关线段与差得不等式，通常会接洽到三角形中两线段之与大于第三边、之差 小于第三边，故可想要领将其放在一个三角形中证实； 2〕在使用三角形三边干系证实线段不等干系时，如直接证实不出来，可连 接两点或延伸某边组成三角形， 使结论中出现得线段在一个或几个三角形中， 再 运用三角形三边得不等干系证实； 第 3 页，共 14 页 二、中线倍长三角形题目中涉及中线〔中点〕时，将三角形中线延伸一倍，结构全等三角形为常用得解题思绪．7 与 5，那么第三边上中线长 x 得取值范畴为〔例 二、中线倍长 三角形题目中涉及中线〔中点〕时，将三角形中线延伸一倍， 结构全等三角形为常用得 解题思绪． 7 与 5，那么第三边上中线长 x 得取值范畴为〔 例 3．已得三角形得双方长分别为 〕． 阐发： 要求第三边上中线得取值范畴， 只有将将中线与两个已得边转移到同一个三角形 中，然后使用三角形得三边干系才气举行阐发与判定． 解：如图 延伸 AD ∵ AD 为 2 所示，设 AB=7 ， AC=5 ， BC 上中线 至 E，使 DE = AD=x ． AD=x ． BC 边上得中线，∴ BD=CD ∠ ADC= ∠ EDB 〔对顶角〕∴△ ∴ BE=AC=5 ADC ≌△ EDB ∵在△ ABE 中 AB-BE ＜AE ＜ AB+BE 即 7-5＜ 2x＜ 7+5 ∴1＜ x＜6 例 4： 已得在△ ABC 中， AD 为 BC 边上得中线， E 为 AD 上一点，且 BE=AC，延伸 BE 交 AC 于 F，求证： AF=EF A F E B C D 第 4 页，共 14 页 提示：倍长AD 至 G，毗连 BG