(参考资料)史济怀,刘太顺.__复变函数.__习题解答.docx

第一章 复数与复变函数 §1.1习题 n n 2.设Zi，Z2，...,Z〃是任意n个复数，证明：爻|zj,并给出不等式中等号成立 k=l k=l 的条件. （提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是二苔2,…，m线性相关）. 3.证明：-=(|Rer| + |hnz|) <|z| <|Rez| + |lmz|. 〈公+空证明:设 z = a + ib ,则 Res = a , Imz = b ,\z \=y/a2 +b2 .Etl 题 2 知.|z| < |a| + |Z?z'| = +时 冃 +岡)2 〈公+空 即有 ^^lRe-l + lIin-l^-|-|-lRe-l + lIm;l- 4.若|zj = A|s2 |,A>0 ,证明：\z1-A2z2^ = A\zl-z2 \. 证明：不妨设KlkJ/o.f1国2=|二］「 则|却％-為2 则|却％-為2〔=二1二2-人2|述 二1 二2一|二1「=|=1||-1-=2| 即有|z1-22z2| = 2| Zj-Z2 I成立. 5?设也心，证明:若E则云 证明：由|z| = l得二=1 故仁一 <7冋二-67二=|z||l-<7Z =|1-67Z 即证之. 6.设|a 丨<1, |z| <1.证明：三M <1. 1 —a 二 证明：提示：（三M <1 ◎ | 二F—2Re为+|a|2<l —2Re为+|。|2|二|2； az 而 1-|aF—I 二 f+|a|2| 二 |2=（1_惱|2）（1_| 二 |2）>o；） 7.设Z1,Z2,...,Z? , CDl,CD2,...,CDn是任意2n个复数，证明复数形式的Lagrange等式: n 2 “ 2 “ 2 支旅 =（￡|刁|）（力％|）一 ￡員伽-*丿「，并由此推出Cauchy不等式： J=1 j=l j=l 1< J<k<n 2 ? 2W ? 2\ 初|蚀脸』j ak2L ,det 2一 、-1饱 （一 _ - ak 2L ,det 2 一 、 -1饱 （一 _ -、— '"1 |2 〃 Y\z\ YZjCDj 另外，det -1 -2 …-M =2 冯 =det 丿=1 丿=1 0饥-W 丿/丿少」 <丿=1 丿=1 / 1<J<k<n 场-二*<y丿2,则原式=习|二丿砍一二上刨>0.（1） = det（』4）20, >0. （2）（文|z丿I）（￡|皿|）- >0. （2） 丿=1 丿=1 丿=1 由（1） = （2）可得证. §1.2习题 把复数== l + cos9+，sin。写成三角形式. q Lie -Lie Lte % -te 0 -te 解：z = \ + e9 = e2 (e 2 +e2 ) = e2 2Ree2 =(2cos—)〃 2 问取何值时有（1 +1）" = （1 一，）〃 . 解：提示（岩=挪2如 cos ? - cos(n cos ? - cos(n +r-2sin- 2 ? sin — + sin(〃 + —)0 ? 3.证明： ￡ cos = , ￡ sin 上0 = 3. k=° 2 sin- 卜。 2 . 〃 + 1 々'(??+ 18 . 〃 + 1 々 '(??+ 18 S 1II U inO 2 / 证明：由于史萨= k=0 .e SIU 2 则即可得￡ cos河=Re Z酒 '_' k=0 k=0 >sink。= imy'eke . 11 1 1 =0. 1 -1 4.证明：頌孑3和^a>/"3同向相似的充分必要条件为二2 a2 证明：提示（$=2=3和$二2二3 同向相似<=^3f7,Z?eC ,使得G）k = a^k + b（k = \,2,3） f 、 -i 5、 / 、 -1 ‘r -i wi 1 W2 =a 二 2 +b 1 W2 二 2 1 线性相关。det 二 2 W2 1 =0.) 、吗丿 J丿 、吃 u丿 二3吗1 5.设二I。二2，证明：z位于以上和二2为端点的开线段上，当且仅当存在2e（0,1）,使得 二=人二 1 + （1 — 人）二2 ； 证明：Z位于以上和二2为端点的开线段上 为二 为二1 + 二2 + 吊 + 二4 = ° ? 。> 0,二2 —二=上(二一二 1)。不上 > 0,二= o ma e (0,1),s =人二1 + (1+人)=2，以=土)? 1 +A- 6.图1.5是三个边长为 6.图1.5是三个边长为1的正方形，证明: ZAOD + ZBOD + ZCOD =- 2 E 解：以。为 解：以。为原点，0D为X轴，0E为Y轴, 建立坐标系.设OA = ^,OB = z2,OC =二3 则 Z] = 1+Z,=2 = 2 + Z?，二3 =3 +，， 从而 arg(圭2二3) = ai'g(