高中数学中二次函数根的分布问题详解详析.docx

二次函数根的分布问题 1、 二次函数 y f (x) ax2 bx c (a 0) 在闭区间 [m, n] 上的值域和最值问题 。 ① 当对称轴 x b m 时，函数 y f (x) ax2 bx c ( a 0) 在闭区间 [ m, n] 是单 2a 调递增函数，所以 ymax f ( n) an2 bn c ， ymin f (m) am2 bm c ； ② 当 对 称 轴 x b (m ,m n ]时 ， 函 数 y f( x) a2x b x c( a 0 )在 区 间 2a 2 (m , b ] 上 是 单 调 递 减 函 数 ， 在 区 间 ( b , n] 上 是 单 调 递 增 函 数 ， 且 b 2a b 2a | m | | n | ， 所 以 ym fa (n) x an2 bn c ， 2a b 2a b b ymin f ( ) a( ) 2 b( ) c ； 2a 2a 2a ③ 当 对 称 轴 x b (m n ,n] 时 ， 函 数 y f (x) ax2 bx c (a 0) 在 区 间 2a 2 (m , b ]上 是 单 调 递 减 函 数 ， 在 区 间 ( b , n] 上 是 单 调 递 增 函 数 ， 且 2a 2a | b m | | b n | ， 所 以 ym af (m) x am2 bm c ， 2a b 2a b b ymin f ( ) a( ) 2 b( ) c ； 2a b 2a 2a ④ 当对称轴 x n 时，函数 y f ( x) ax2 bx c ( a 0) 在闭区间 [ m, n] 是单 2a 调递减函数，所以 ymax f (m ) am2 bm c ， ymin f (n) an2 bn c 。 其中，值域就是在最大值与最小值之间。 综上所述： f (n) an 2 bn c ( x b m n) ymax 2a 2 b m n ) f (m) am2 bm c ( x 2a 2 f (m) am2 bm c ( x b m) 2a y f ( b ) a( b )2 b( b ) c (m x b n) min 2a 2a 2a 2a f (n) an2 bn c ( x b n) 2a 2.二次函数 y f (x) ax2 bx c ( a 0) 在区间 ( , n] 上的值域和最值问题 。 ① 当对称轴 b 2 x ( , ]时，函数 y f( x) a x b x ( c 在 2a n 0a ) b b ( , ] 单调递减， 在 ( , n] 单调递增所以 y f ( x) ax2 bx c (a 0) 2a 2a b ) b b ) 无最大值，最小值 ymin f ( a( )2 b( c ； b 2a 2a 2a ② 当对称轴 x n 时，函数 y f ( x) ax 2 bx c ( a 0)在( , n] 上是减 2a 函数，所以无最大值，最小值 ymin f (n) an2 bn c 。 2、 二次函数 y ax2 bx c (a 0) 在区间 [n, ) 上的值域和最值问题。 ① 当对称轴 x b ( , n) 时，函数 y f ( x) ax2 bx c ( a 0) 在 [ n, ) 2a 单 调 递 增 ， 所 以 y 2 b x (c a0无) 最 大 值 ， 最 小 值 为 f( x)a x ymin f (n) an2 bn c ； ② 当对称轴 递减，在  x b n 时，函数 y f (x) ax 2 bx c (a 0) 在 [ n, b ] 单调 2a 2a ( b , ) 单调递增，所以 y f ( x) ax 2 bx c ( a 0) 无最大值， 2a 最小值 ymin f ( b ) a( b )2 b( b ) c ； 2a 2a 2a 3、 二次函数 y ax2 bx c (a 0) 在闭区间 [ m, n] 上的值域和最值问题 。 ① 当对称轴 x b m 时，函数 y f ( x) ax2 bx c (a 0) 在闭区间 [ m,n] 是 2a 单调递减函数，所以 ymax f ( m) am2 bm c ， ymin f (n) an2 bn c ； ② 当对称轴 x b ( , m n ] 时 ，函数 y f ( x) 2 bx c (a 0) 在区间 2a m 2 ax (m, b ] 上 是 单 调 递 增 函 数 ， 在 区 间 ( b , n] 上 是 单 调 递 减 函 数 ， 且 2a 2a