第3章弹性本构关系的求解习题.doc

第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题 习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？ 解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为： SKIPIF 1 < 0 （a） 当 SKIPIF 1 < 0 时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。当 SKIPIF 1 < 0 时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。在主应变方向上，剪应力分量为： SKIPIF 1 < 0 （b） 若使 SKIPIF 1 < 0 ，则式中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 具有非零解的条件为 SKIPIF 1 < 0 （c） 上式即为x，y，z轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。如果材料性能对称于一个平面，如Oxy平面，则 SKIPIF 1 < 0 ，而且 SKIPIF 1 < 0 ，此时（c）式恒等于零。在此情况下，当存在以x，y，z轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为 SKIPIF 1 < 0 （d） 若应变分量之间满足 SKIPIF 1 < 0 ，则此点的应变主方向和应力主方向重合。如果材料性能对称于Oxy，Oyz，Ozx三个平面，则有 SKIPIF 1 < 0 ，此时（d）式总是满足的。由此可知，当x，y，z轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。但是，当应变主方向和正交轴不重合时，一般它与应力的主方向是不重合的。对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主方向和应变主方向总是重合的。 习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。且进一步证明：当其主应力的大小顺序为 SKIPIF 1 < 0 时，其主应变的排列顺序为 SKIPIF 1 < 0 。 解：各向同性条件下的广义虎克定律为 SKIPIF 1 < 0 将上式中的（1）－（2），（2）－（3），（3）－（1）分别得： SKIPIF 1 < 0 　即　 SKIPIF 1 < 0 证明：当其主应力的大小顺序为 SKIPIF 1 < 0 时，其主应变的排列顺序为 SKIPIF 1 < 0 。 SKIPIF 1 < 0 　 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，利用上述正应力之差和正应变之差的关系式有 SKIPIF 1 < 0 。 习题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力 SKIPIF 1 < 0 作用下，测得体积应变 SKIPIF 1 < 0 ，若泊松比 SKIPIF 1 < 0 =0.3，试求该物体的弹性模量 SKIPIF 1 < 0 。 解：设 SKIPIF 1 < 0 为第一应力不变量，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 据各向同性条件下的广义虎克定律为有： SKIPIF 1 < 0 ，其中体积应变 SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0 。 习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力 SKIPIF 1 < 0 ，且横向变形完全被限制住（如图所示）。试求应力与应变的比值（称为名义杨氏模量，以 SKIPIF 1 < 0 表示）。 解：设柱体的轴线z轴， SKIPIF 1 < 0 。因为横向变形被限制， 所以 SKIPIF 1 < 0 。据各向同性条件下的广义虎克定律 图3-1 SKIPIF 1 < 0 图3-1 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将此两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，而泊松比 SKIPIF 1 < 0 的理论取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入广义虎克定律得： SKIPIF 1 < 0 从而 SKIPIF 1 < 0 ，得解。 习题5、在某点测得正应变的同时，也测得与它成60。和90。方向上的正应变，其值分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 <