数学建模四人追击问题论文.docVIP

. . 一、对《数学实践与建模》课程的讲义、授课内容、授课方式等的看法、建议： 还没开始上这门课的时候，我就经常听到数学建模这个词，谁谁谁参加数学建模比赛了之类的。当时并没有多想，感觉数学建模什么的估计就是类似奥数竞赛一类的解难题吧。没想到这学期开了这门课，通过这门课让我对数学建模有了一个更清晰直观的认识。 这么几周的课上下来，我觉得这门课还是很有意思的，对于这门课，我有一下一些建议： 第一节课可以先去机房上一次实验课，让大家先试试手，这样利于后期课堂教学的开展； 可以建立一个QQ群，让大家相互讨论，这样也可以充分利用好那些有数学建模基础同学的资源； 大家自己弄MATLAB软件不是太方便，希望学校或者老师在软件的获取上给予一定的帮助； 实验课的时候进行分组，一个基础好的同学和几个没什么基础的同学为一组，这样可以提高整个小组成员的学习效率。 有的建议可能不好实施，所以以上是我从个人想法观点出发的几点小建议。 二、题目： 四人追逐实验 三、摘要： 这是一个关于动态追击的问题，每个人都在运动，而且每个人的运动状态是相同的。问题主要在于，每个人的运动状态都在时时刻刻改变着，这是分析这个问题的关键点。通过初步判断，四个人最终会相遇在同一点，并且四个人的运动具有对称性，我们可以通过使追及过程离散化的方法来模拟四人的追及过程，即以极短的时间段 为间隔，逐步分析四人的运动状况。 四、问题重述： 在正方形ABCD的四个顶点各有一个人。设在初始时刻 时，四人同时出发匀速以 沿顺时针走向下一个人。如果他们始终对准下一个人为目标行进，最终结果会如何。作出各自的运动轨迹。 五、模型假设： 1、将四个人看成质点a、b、c、d，设他们的初始位置分别为 (0,0)(即坐标原点O)、 (0,1)、 (1,1)、 (1,0)，如图1所示。 2、假设某人追上其目标的要求是该者与其目标间的距离足够小。我们不妨将该临界距离设为0.005个单位（该值为初始距离的0.5%）。 3、假设当中a、b、c、d某人已追到其目标时，该追及活动终止，即运动结束。若此时恰巧其他三人也追到各自目标，则称这种情况为四人追到一起。否则的话，称四人不能追到一起。 4、在追及过程中，四人可以在正方形区域内进行运动，并不是只能在正方形的边长上运动。 5、在开始运动时和追及过程中，每个人时刻朝着目标运动不受限制。 6、根据分析，可以假设连续的时间被分为多个极小且等长的时间段 。又因为时间间隔 极短，所以四人在 时间内的运动均可视为直线运动。 六、模型的建立与求解： 本题求解的关键在于运用算法求出若干个时间后a、b、c、d四人的位置坐标，并计算相应追逐者间的距离。记经过k个时间后，a、b、c、d位置点分别为、、、。故本题转化为求、、、的坐标，以及、、、的值。下面，逐步分析四人的运动状况。 ①运动开始时，a、b、c、d四人同时分别朝着各自目标沿向量、、、的方向运动。 ②经过1个时间后，a由运动到,b由运动到，c由运动到，d由运动到。 ③此时a、b、c、d都要转变方向同时分别沿向量、、、方向追及b、c、d、a。 ④经过2个时间后，a、b、c、d又分别由、、、运动到、、、。 ⑤此时a、b、c、d需再次调整方向同时分别沿向量、、、方向追及b、c、d、a。 ⑥照此循环下去，直到某两者之间的距离足够小，即这时两个人追到一起，该程序活动终止。以上过程如图2所示。 因此，我们可以用向量递推的方法来求出、、、的坐标,即向量、、、的坐标。记a、b、c、d四者的速率分别为、、、。 =- ; =- =- ; =- 通过对1个dt时间、2个dt时间、3个dt时间一直到k个dt时间后的分析，可以得到： =- ; =- =- ; =- 所以接下来我们可以进行MATLAB的编程。 MATLAB程序如下： clear;clf; A=[0,0];B=[0,1];C=[1,1];D=[1,0]; k=0; dt=0.004;v=1; grid; hold on; axis([0 1 0 1]); while k<10000 k=k+1; plot(A(1),A(2),'g.');