数学建模报告公司的销售额预测.docVIP

. . 公司的销售额预测 一、问题重述 某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量,下表给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据(单位：百万元) 年 季 公司销售额 行业销售额 年 季 公司销售额 行业销售额 1977 1 1 20.96 127.3 1979 3 11 24.54 148.3 2 2 21.40 130.0 4 12 24.30 146.4 3 3 21.96 132.7 1980 1 13 25.00 150.2 4 4 21.52 129.4 2 14 25.64 153.1 1978 1 5 22.39 135.0 3 15 26.36 157.3 2 6 22.76 137.1 4 16 26.98 160.7 3 7 23.48 141.2 1981 1 17 27.52 164.2 4 8 23.66 142.8 2 18 27.78 165.6 1979 1 9 24.10 145.5 3 19 28.24 168.7 2 10 24.01 145.3 4 20 28.78 171.7 表1 公司的公司销售额和行业销售额的分季度数据(单位：百万元) (1)画出数据的散点图,观察用线性回归模型拟合是否合适. (2)建立公司销售额对全行业的回归模型,并用DW检验诊断随机误差项的自相关性. (3) 建立消除了随机误差项自相关性之后的回归模型. 二、问题分析与假设 销售收入预测的方法主要有 时间序列法、 因果分析法和 本量利分析法等. 时间序列法,是按照时间的顺序,通过对过去几期实际数据的计算分析,确定预测期产品销售收入的预测值. 表1 的数据是以时间顺序为序列的,称为时间序列.由于公司销售额和行业销售额等经济变量均有一定的滞后性,因此,在这样的时间序列数据中,同一变量的顺序观测值之间出现相关现象是很自然的.然而,一旦数据中存在这种自相关序列,如果仍采用普通的回归模型直接处理,将会出现不良后果,其观测也会失去意义,为此,我们必须先来检验数据是否存在自相关,一旦存在,就要考虑自相关关系,建立新的模型. 定义与符号说明 行业销售额 公司销售额 公司销售额的估计值 三、模型建立与求解 一、基本统计回归模型建立 以行业销售额为自变量、以公司销售额为因变量的散点图,其中 图1 对的散点图 从图1可以看出,随着行业销售额的增加,公司销售额也增加,而且两者有很强的线性关系,因此可以建立线性回归模型 ,为随机误差 假设与是相互独立的,且服从均值为零的正态分布. 由表1的数据以及上述线性回归模型的假设,进行数据处理,得到回归系数估计值及其置信区间和检验统计量,见表2. 参数 参数估计值 置信区间 -1.45475 [-1.90465 -1.00485] 0.176283 [0.173248 0.179318] 表2 模型的计算结果 将参数估计值代入得到, 由表2知,几乎处处可由确定.用作出其交互式画面,由此可以给出不同水平下的预测值及其置信区间,通过左方的下拉式菜单,可以输出模型的统计结果,见图2. 图2 回归分析中的交互式画面 二、自相关性的判别 我们可以看到模型的拟合度很高(),即可认为可由模型确定.但此模型并未考虑到我们的数据是一个时间序列.在对时间序列数据做回归分析时,模型的随机误差项可能存在相关性,违背于模型对独立的基本假设.现在我们考虑如下模型： 其中是自相关系数,,相互独立且服从均值为0的正态分布. 模型中,若,则退化为普通的回归模型;若,则随机误差存在正的自相关;若,则随机误差存在负的自相关.大多数与经济有关的时间序列数据,在经济规律作用下,一般随着时间的推移有一种向上或向下的变动趋势,其随机误差表现出正相关性. 检验是一种常用的诊断自相关现象的统计方法.首先根据模型得到的残差,计算统计量如下： 其中是观察值个数,残差为随机误差项的估计值.当较大时, 而式的右端正是自相关系数的估计值,于是 由于,所以,并且若在0附近时,则在2附近,的自