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第一章 行列式
二阶行列式:如下所示
a a
11 12
a a =−a a (1)
11 22 12 21
a a
21 22
数 称为行列式的元素或元,其第一个下标 称为行标;第二个下标 称为列标;位于第
aij i j i
行第 列的元素称为行列式的 元。
j (i, j)
例:求解二元线性方程组
3x −2x 12
⎧ 1 2 ⎫
⎨ ⎬
2x +x 1
⎩ 1 2 ⎭
3 −2 12 −2 3 12
解:D 7, D1 14, D2 −21
2 1 1 1 2 1
D 14 D
得x1 1 2 ,x2 2 −3
D 7 D
三阶行列式:如下所示
⎛a11 a12 a13 ⎞
⎜ ⎟
a a a a a a =+a a a +a a a −a a a
⎜⎜ 21 22 23 ⎟⎟ 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 (2 )
a a a
⎝ 31 32 33 ⎠
−a a a −a a a
12 21 33 13 22 31
排列(全排列):把n 个不同的元素排成一列,叫做这n 个元素的全排列。例如n=3 ,则这
3 个元素的排列的种数为123,132,213,231,321,312,共六种,即种数为P 3=×2×1 6 种。
3
对于n 个元素,则其排列的种数为P n ×(n −1) LL3×2 ×1 n !
n
逆序数:对于n 个不同的元素,先假设各元素之间有一个标准次序(例如n 个不同的自然数,
可规定由小到大为标准次序),很显然,n 个不同的元素排列顺序肯定不止一种,当这些元
素的排列中某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说它有一个逆序。排列中所有逆序
的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做
偶排列。
不失一般性,设n 个元素为1 至n 这n 个自然数,规定由小到大为标准次序,设
p p Lp
1 2 n
为这n 个自然数的一个排列,考虑元素 ,如果比 大的且排在 前面的元素有 个,就
p i p i p i ti
说 这个元素的逆序数是 (因为按照标准排序从小到大,即在 之前本该没有数大于 ,
p i ti p i p i
但现在有 个,所以说有 个元素相对于 与标准顺序不同,即有 个逆序数),如果每个
ti
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