高等数学第章第6节几何中的应用.ppt

一、空间曲线的切线与法平面 1. 曲线方程为参数方程的情况 例1. 或 法平面方程 切平面方程 特别, 当光滑曲面? 的方程为显式 法向量的方向余弦： 内容小结 2) 一般式情况. 2. 曲面的切平面与法线 2) 显式情况. 2. 设 f ( u ) 可微, 1. 证明曲面 2. 求曲线 * 第六节 复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第八章 复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 切线方程 法线方程 若平面光滑曲线方程为 故在点 切线方程 法线方程 在点 有 有 因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击图中任意点动画开始或暂停 切线方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此处要求 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不全为0, 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 , 则 ? 为 r (t) 的矢端曲线, 处的导向量 就是该点的切向量. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 法平面方程 即 即 解: 由于 对应的切向量为 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 故 2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 当 曲线上一点 , 且有 时, ? 可表示为 处的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则在点 切线方程 法平面方程 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 也可表为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求曲线 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程 解法1 令 则 即 切向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法平面方程 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2. 方程组两边对 x 求导, 得 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量 解得 切线方程 即 法平面方程 即 点 M (1,–2, 1) 处的切向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点 对应点 M, 切线方程为 不全为0 . 则 ? 在 且 点 M 的切向量为 任意引一条光滑曲线 下面证明: 此平面称为 ? 在该点的切平面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 ? 上, 得 令 由于曲线 ? 的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量 的平面上 , 从而切平面存在 . 曲面 ? 在点 M 的法向量 法线方程 复习 目录 上页 下页 返回 结束 曲面 时, 则在点 故当函数 法线方程 令 在点 有连续偏导数时, 切平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法向量 用 将 表示法向量的方向角, 并假定法向量方向 分别记为 则 向上, 复习 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求球面 在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程 法向量 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 确定正数? 使曲面 在点 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为 二曲面在点 M 相切, 故 又点 M 在球面上, 于是有 相切. 与球面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 因此有 1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程 法平面方程 1) 参数式情况. 空间光滑曲线 切向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 切线方程 法平面方程 空间光滑曲线 切向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面 曲面 ? 在点 法线方程 1) 隐式情况 . 的法向量 切平面方程 机动 目录 上