高等数学教ch82偏导数.docVIP

第 PAGE 5 页 共 NUMPAGES 6 页 §8.2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z=f(x, y), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y固定, 这时它就是x的一元函数, 这函数对x的导数, 就称为二元函数z=f(x, y)对于x的偏导数.　　 定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 当y固定在y0而x在x0处有增量?x时, 相应地函数有增量 f(x0??x, y0)?f(x0, y0). 如果极限 SKIPIF 1 0 存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , 或 SKIPIF 1 0 .　　 例如： SKIPIF 1 0 . 类似地, 函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对y 的偏导数定义为 SKIPIF 1 0 , 记作 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , 或fy(x0, y0). 偏导函数: 如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x、y的函数, 它就称为函数z=f(x, y)对自变量 SKIPIF 1 0 的偏导函数, 记作 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , 或 SKIPIF 1 0 . 偏导函数的定义式? SKIPIF 1 0 . 类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , zy , 或 SKIPIF 1 0 ? 偏导函数的定义式? SKIPIF 1 0 . 求 SKIPIF 1 0 时? 只要把y暂时看作常量而对x求导数? 求 SKIPIF 1 0 时? 只要把x暂时看作常量而对y求导数? 讨论? 下列求偏导数的方法是否正确？ SKIPIF 1 0 ? SKIPIF 1 0 ? SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 . 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数??例如三元函数u?f(x? y? z)在点(x? y? z)处对x的偏导数定义为 SKIPIF 1 0 ? 其中(x? y? z)是函数u?f(x? y? z)的定义域的内点? 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题? 例1 求z=x2?3xy?y2在点(1, 2)处的偏导数.　　 解 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 .　 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 .　　 例2 求z=x2sin 2y的偏导数?　　 解 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 .　　 例3 设 SKIPIF 1 0 , 求证: SKIPIF 1 0 .　　 证 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 .　　 例4 求 SKIPIF 1 0 的偏导数. 解 SKIPIF 1 0 ; SKIPIF 1 0 .　　 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证? SKIPIF 1 0 . 证 因为 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ; SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ; SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ; 　 所以 SKIPIF 1 0 .　　 例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商.　　 二元函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的偏导数的几何意义: fx(x0, y0)=[f(x, y0)]x?是截线z=f(x, y0)在点M0处切线Tx对x轴的