(含详答)2018年上海春考数学试卷.docx

PAGE7 / NUMPAGES7 2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．不等式的解集为__________． 2．计算：__________． 3．设集合，，则__________． 4．若复数（是虚数单位），则__________． 5．已知是等差数列，若，则__________． 6．已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于4，则动点的轨迹为 __________． 7．如图，在长方形中，，，， 是的 中点，则三棱锥的体积为__________． 第7题图 第12题图 8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________． 9．设，若与的二项展开式中的常数项相等，则__________． 10．设，若是关于的方程的一个虚根，则的取值范围 是__________． 11．设，函数，，若函数与 的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是__________． 12．如图，正方形的边长为20米，圆的半径为1米，圆心是正方形的中心，点 、分别在线段、上，若线段与圆有公共点，则称点在点的“盲 区”中．已知点以1．5米/秒的速度从出发向移动，同时，点以1米/秒的速度 从出发向移动，则在点从移动到的过程中，点在点的盲区中的时长约 为__________秒（精确到0．1） 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13．下列函数中，为偶函数的是（ ） （A） （B） （C） （D） 14．如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线 异面的直线条数为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 15．记为数列的前项和．“是递增数列”是“为递增数列”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 16．已知、为平面上的两个定点，且．该平面上的动线段的端点、， 满足，，，则动线段所形成图形的面积为（ ） （A）36 （B）60 （C）81 （D）108 三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分） 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知． （1）若，且，求的值； （2）求函数的最小值． 18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知，双曲线． （1）若点在上，求的焦点坐标； （2）若，直线与相交于、两点，且线段中点的横坐标为1，求实数的值． 19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点、、在抛物线上，是抛物线的对称轴，于，米，米． （1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）在图3中，已知平行于圆锥的母线，、是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）． 图1 图2 图3 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设，函数． （1）若，求的反函数； （2）求函数的最大值（用表示）； （3）设．若对任意，恒成立，求的取值范围． 21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分） 若是递增数列，数列满足：对任意，存在，使得，则称是的“分隔数列”． （1）设，，证明：数列是的“分隔数列”； （2）设，是的前项和，，判断数列是否是数列的分隔数列，并说明理由； （3）设，是的前项和，若数列是的分隔数列，求实数、的取值范围． 参考答案 一、填空题 1． 2．3 3． 4．2 5．15 6． 7．5 8．180 9．4 10． 11． 提示： 12． 提示：以为原点建立坐标系，设时刻为，则 则，化简得 点到直线PQ的距离，化简得 即，则 二、选择题 13．A 14．C 15．D 16．B 提示：建系，则的轨迹为线段，扫过的三角形面积为12，则利用相似三角形可知扫过的面