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根轨迹设计器在系统分析和设计中应用 　　摘要:根轨迹分析法是系统分析和设计中一个重要的方法。手工绘制根轨迹图非常繁杂,而且不能方便地得到系统校正前后的动态性能指标,因此本文引入MATLAB中的根轨迹设计器,并通过系统分析和设计实例来说明根轨迹设计器的使用方法,使得系统分析和设计更加直观和方便。 　　 　　关键词:根轨迹系统分析系统校正自控原理MATLAB 　　 　　1 MATLAB/根轨迹设计器介绍 　　 　　MATLAB(Matrix Laboratory, 矩阵实验室)是Math works公司于1982年推出的高性能的集数值计算、矩阵运算、数据分析、动态仿真、信号处理、图形处理与显示于一体的可视化软件[1]。 其中根轨迹设计器是MATLAB软件中附带的SISO Design Tool中的一个工具。 　　根轨迹法在系统分析中的应用:在参数已知的情况下求系统的特性;分析参数的变化对系统特性的影响(即系统特性对参数变化的敏感度和添加零点、极点对根轨迹的影响);对于高阶系统,运用“主导极点”概念,快速估计系统的基本特性等[2]。 　　不仅如此,在系统校正中,当系统要求的性能指标以时域特征量给出时,采用根轨迹法进行校正比较方便[3]。 　　而根轨迹设计器是一个应用根轨迹法在系统分析和校正的工具,下面通过实例来说明使用根轨迹设计器方法。 　　 　　2 根轨迹设计器应用举例 　　 　　2.1 在控制系统性能分析中的应用 　　系统的暂态特性取决于闭环零点、极点的分布,因而和根轨迹的形状密切相关,而根轨迹的形状又取决于开环零点、极点的分布。 　　结论1:增加位于S左半平面的开环极点,将使得根轨迹向右半平面移动,系统的稳定性能降低。 　　例1已知系统的开环传递函数为: 添加一个开环极点s3=-5,观察根轨迹发生的变化。 　　(1)程序编制如下: 　　clear;s=tf('s');Gk=tf(1/(s*(s+1)));rltool(Gk) 　　运行结果如图1所示。 　　(2)添加一个极点 　　图1未添加极点前的根轨迹 　　找到在图1右上角处,如图2所示的“C”方块,点击该处,得到图3。在如图3所示的界面中可以设置添加的零点和极点,本例是添加了一个s3=-5的极点。 　　图2 系统结构图 　　图3 补偿器参数设置界面 　　设置完毕,点击OK,结果如图4所示。 　　图4添加极点后的根轨迹 　　结论2:一般来说,增加的开环极点越靠近虚轴,其影响越大,使根轨迹向右半平面弯曲就越严重,因而系统的稳定性能的降低便越明显。 　　按例1的方法,采用根轨迹设计器,通过比较添加极点为-5和极点为-0.5之间的差异,很直观就会得到上述的结论。 　　结论3:一般来说,开环传递函数增加零点,相当于引入微分作用,使根轨迹向左半S平面移动,将提高系统的稳定性。 　　同样,在例1所示的传递函数的基础上,添加一个开环的零点z=-2,亦可以得到上述的结论。 　　2.2在控制系统校正中的应用 　　例2设有一个I型系统,其开环传递函数为: 　　要求校正后系统的性能指标如下: 　　 ,试设计校正装置。 　　(1)观察原系统是否满足性能指标的要求,编制程序如下: 　　clear; 　　num1=[1 ]; 　　den1=conv([1 0],conv([11],[1 4])); 　　Gk=tf(num1,den1); 　　rltool(Gk) 　　结果如图5所示。在图5中红色正方形是k=1时闭环系统的极点。图1菜单中,选择Analysis>>Other Loop Responses 得到图6,当前图6的设置,表示要观察闭环系统的单位阶跃输入的时域响应曲线。 　　点击OK,可得图7。从图7可以得到调节时间,上升时间,超调量等参数。 　　(2)引入设计规则:添加设计条件,在根轨迹上建立期望极点区域。在图5的菜单项中,点击Edit>>Root Locus>>Design Constrains>>New,得图8。 　　图5校正前系统的根轨迹 　　图6时域响应曲线设置界面 　　在图8所示的界面上设置调节时间。设置完毕,点击OK,得图9。比较图5和图9,图9出现了边界线,该边界线是由设置调节时间后引出的,其含义是系统期望的极点必须是在该边界线的左边,才能够满足调节时间的性能要求[4]。 　　图8设置调节时间 　　图9设置调节时间后的根轨迹设计器界面 　　图10设置超调量 　　图11设置超调量后的根轨迹设计器界面 　　同样,Edit>>Root Locus>>Design Constrains >>New ,得图10。在图10中,设置超调量的指标为16%。点击OK,结果如图11所示。对比图9,