上海初二矩形菱形正方形讲解和例题.doc

　矩形　菱形　正方形 1．矩形的定义和性质 (1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角．两者缺一不可． (2)矩形的性质： ①矩形具有平行四边形的所有性质． ②矩形的四个角都是直角． 如图，在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，又由邻角互补、对角相等可得∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90° 推理形式为：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°. ③矩形的对角线相等． 如上图，在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD＝90°，BC为公共边，可得△ABC≌△DCB. 从而证得AC＝BD. 其推理形式为：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD. ④矩形既是中心对称图形(对称中心是对角线的交点)(20．4节讲到)，又是轴对称图形(有两条对称轴)． ①“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证明两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证明线段相等．②矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形． 【例1】如图所示，在矩形ABCD中，∠CAD＝30°，CD＝5 cm，求矩形ABCD的周长(精确到0.1)． 解：连接BD交AC于点O. 在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC. ∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°， ∴AC＝2CD＝10(cm)． 在Rt△ADC中，AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(102－52)＝eq \r(75)≈8.66(cm)． ∴AB＋BC＋CD＋DA＝2(AD＋DC)＝2×(8.66＋5)≈27.3(cm)． ∴矩形ABCD的周长约为27.3 cm. 2．直角三角形的一个性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图所示，由矩形的对角线相等可知，AC＝BD. 又因为矩形的对角线互相平分， 所以OA＝OC＝eq \f(1,2)AC，OB＝OD＝eq \f(1,2)BD. 所以OA＝OB＝OC＝OD. 所以在Rt△ABC中，斜边上的中线OB＝eq \f(1,2)AC. 直角三角形的这一性质与两锐角互余、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半都是直角三角形的重要性质．这一性质常常用来证明线段的倍分关系． 【例2】如图，BD，CE是△ABC的两条高，G，F分别是BC，DE的中点，求证：FG⊥DE. 分析：有三角形的高就会出现直角三角形，有中点就可以联想到直角三角形斜边上中线的性质和等腰三角形的性质． 证明：连接EG，DG. 因为BD，CE是△ABC的两条高， 所以△BDC和△BEC都是直角三角形． 又因为G是BC的中点， 所以DG＝eq \f(1,2)BC＝EG， 即△GDE是等腰三角形． 因为F是DE的中点，所以GF是等腰三角形GDE的底边DE上的中线． 所以GF是底边DE上的高． 所以FG⊥DE. 3．矩形的判定 (1)定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)方法一：对角线相等的平行四边形是矩形． (3)方法二：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形的定义也是矩形判定方法中的一个 矩形的判定可用下图表示： ①用定义判定一个四边形是矩形必须具备两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．②用方法一判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就是说，两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形． 【例3】如图所示，在四边形ABCD中，BE＝DF，AC与EF互相平分于点O，∠B＝90°.求证：四边形ABCD是矩形． 分析：此题要证四边形ABCD是矩形，要先证它是平行四边形，而要证明它是平行四边形，应结合条件确定合适的判定方法，即具体情况具体分析． 证明：连接AF，CE. ∵EF和AC互相平分， ∴四边形AECF是平行四边形． ∴AB∥CD，CF＝AE. 又∵DF＝BE，∴AB＝CD. ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形． 4．菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 如图，当把平行四边形的一条边平移后，使邻边相等，平行四边形就变成了菱形． 菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是菱形. ①菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．②菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的判定方法． 【例4】如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗？试说明理由． 分析：由菱形的定义去判定，由DE∥AC，DF∥BC可得四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2，证得邻边相等即可． 解：四边形DECF是菱形． 理