第17讲正态分布.ppt

正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布. 德莫佛 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面. 不知你们是否注意到街头的一种赌博活动? 用一个钉板作赌具。 街头 请看 也许很多人不相信，玩这种赌博游戏十有八九是要输掉的，不少人总想碰碰运气，然而中大奖的概率实在是太低了。 下面我们在计算机上模拟这个游戏： 街头赌博 高尔顿钉板试验 平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的。一旦试验次数增多并且注意观察的话，你就会发现，最后得出的竟是一条优美的曲线。 高 尔 顿 钉 板 试 验 这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。 正态分布的定义是什么呢？ 对于连续型随机变量，一般是给出它的概率密度函数。 一、正态分布的定义 若r.v X的概率密度为 记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 其中 和 都是常数， 任意， >0， 则称X服从参数为 和 的正态分布. 正态分布有些什么性质呢？ 由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点。 正态分布 请看演示 二、正态分布 的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”. 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度. 正态分布 的图形特点 能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？ 容易看到，f(x)≥0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方; 故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值: 令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可得 f (μ+c)=f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ) 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。 当x→ ?∞时，f(x) → 0, 用求导的方法可以证明， 为f (x)的两个拐点的横坐标。 x = μ ? σ 这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。 根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图。 回忆我们在本章第三讲中遇到过的年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。 从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。 下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。 红线是拟合的正态密度曲线 可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。 人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。 请同学们想一想，实际生活中具有这种特点的随机变量还有那些呢？ 除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布. 服从正态分布 的随机变量 X的概率密度是 X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢？ 设X~ , X的分布函数是 正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正态分布。 标准正态分布 下面我们介绍一种最重要的正态分布 三、标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 和 表示： 它的依据是下面的定理： 标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题. ,则 ~N(0,1) 设 定理1 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表. 四、正态分布表 表中给的是x>0时, Φ(x)的值. 当-x<0时 若 ~N(0,1) 若 X～N(0,1), 由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 当X～N(0,1)时， P(|X| 1)=2 (1)-1=0.68