微积分下册知识点总结.doc

微积分（下）知识点PAGE 1第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 18 页微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数向量及其线性运算向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；线性运算：加减法、数乘；空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；利用坐标做向量的运算：设，，则 , ； 向量的模、方向角、投影：向量的模：；两点间的距离公式：方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向余弦：投影：，其中为向量与的夹角。数量积，向量积数量积：1）2）向量积：大小：，方向：符合右手规则1）2）运算律：反交换律 曲面及其方程曲面方程的概念：旋转曲面：面上曲线，绕轴旋转一周：绕轴旋转一周：柱面：表示母线平行于轴，准线为的柱面二次曲面（不考）椭圆锥面：椭球面：旋转椭球面：单叶双曲面：双叶双曲面：椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：椭圆柱面：双曲柱面：抛物柱面：空间曲线及其方程一般方程：参数方程：，如螺旋线：空间曲线在坐标面上的投影，消去，得到曲线在面上的投影平面及其方程点法式方程： 法向量：，过点一般式方程：截距式方程：两平面的夹角：，， 点到平面的距离：空间直线及其方程一般式方程：对称式（点向式）方程： 方向向量：，过点参数式方程：两直线的夹角：，， 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 第二章 多元函数微分法及其应用基本概念距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。多元函数：，图形：极限：连续：偏导数：方向导数： 其中为的方向角。梯度：，则。全微分：设，则性质函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义12234闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）微分法定义： 复合函数求导：链式法则 若，则 ，隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）应用极值无条件极值：求函数的极值解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令，，，若，，函数有极小值，若，，函数有极大值；若，函数没有极值；若，不定。条件极值：求函数在条件下的极值令： ——— Lagrange函数解方程组 几何应用曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为： 法线方程为：第三章 重积分二重积分（一般换元法不考）定义：性质：（6条）几何意义：曲顶柱体的体积。计算：直角坐标，，极坐标 三重积分定义： 性质：计算：直角坐标 “先一后二” “先二后一”柱面坐标，球面坐标应用曲面的面积：第五章 曲线积分与曲面积分对弧长的曲线积分定义：性质：1） 2） 3）在上，若，则4） ( l 为曲线弧 L的长度)计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则对坐标的曲线积分定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，.向量形式：性质： 用表示的反向弧 , 则计算：设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，则.格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则 曲线积分 在内与路径无关曲线积分 在内为某一个函数的全微分对面积的曲面积分定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义 计算：———“一投二换三代入”，，则对坐标的曲面积分预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义 同理，性质：1），则2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则计算：——“一投二代三定号”，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”.两类曲面积分之间的关系：其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。高斯公式高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有或斯托克斯公式斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含? 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:第六章 常微分方程1、