线性代数 第1.1课 矩阵及其运算.ppt

1.1.1 线性方程组和矩阵的概念 ● 矩阵的基本运算及性质 内容小结 矩阵基本概念：方阵，单位矩阵，对角线矩阵，上（下）三角形矩阵，行（列）向量，矩阵相等. 练习 矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律 (i) (AB)C=A(BC) (ii) (iii) 或 ●矩阵相乘的运算规律： 一般地： 或 或 （1） （2） （3） （4） ●矩阵代数 矩阵的幂 设A是n阶方阵，k为正整数，则 表示 k个A连乘, 如 显然，只有方阵的幂才有意义 方阵的迹 方阵的迹是它的主对角线上的元素和 例 tr(A)=2+(-3)+0=-1 性质： (1) tr(A+B)=tr(A)+tr(B) (2) tr(AB)=tr(BA) 转置矩阵 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做的A转置矩阵，记作 行列对调 例 运算规律 对称矩阵 如果方阵A满足 就称A为对称矩阵 例如 方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素都相等 设A为任意矩阵，则 恒为方阵，且都是对称矩阵 设B为任意方阵，则 恒为对称矩阵 A为对称矩阵 对称矩阵：如果 ，则称矩阵A为对称矩阵。 A为反对称矩阵 反对称矩阵：如果 ，则称矩阵A为反对称矩阵。 （i,j=1,2,…,n） 矩阵分块的定义 对于行数和列数较大的矩阵,经常采用 “矩阵分块法” , 即将一个大矩阵看成是以一些小矩阵为元素的矩阵.在运算中,常常把这些小矩阵当作 “元素”来处理. (在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理) 定义: 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每 个小矩阵称为A的一个子块,以这些子块为元素的形式上 的矩阵称为分块阵. (矩阵A就可以看成是二阶矩阵参与运算). 加法运算: 设矩阵A与B的行数相同，列数相同，采用相同的分块法,有 其中 与 的行数相同，列数相同，那么 分块矩阵的加法与数乘 设 为数，那么 数乘 分块矩阵的乘法 其中 转置运算 例题：设 将A、B适当分块，计算AB 解 将A、B作如下分块：在二、三行之间插入横线， 在二、三列之间插入竖线（如题目所示），则 则 而 所以 定义 设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都是零距阵，且非零子块都是方阵，即 其中 都是方阵，称A为分块对角矩阵 分块对角阵 矩阵的运算：加，减，乘，数乘，转置. 分块矩阵及基本运算. * 魏福义 黄燕苹 主编 中国农业出版社 本课程的基本结构 第一章：矩阵 第二章：向量与线性方程组 第三章：矩阵的特征值与特征向量 第四章：向量的内积与二次型 第五章*：线性空间与线性变换 第六章：Matlab软件的应用 第一章 矩阵 §1 矩阵及其运算 §3 行列式 §2 矩阵的初等变换与初等矩阵 §4 数学建模实例* 第一节 矩阵及其运算 1.1.1 线性方程组和矩阵的概念 1.1.2 矩阵的基本运算及性质 1.1.3 逆矩阵 m个方程， n个未知数 线性方程组 齐次线性方程组 非齐次线性方程组 方程组中未知量的系数矩形数表 考虑方程组右端常数项矩形数表 定义1.1 称为m行n列矩阵 ，简称 其中诸 叫做该矩阵的元素，矩阵可以简记 矩阵，i,j分别称为矩阵A的行标和列标。 几种特殊形式的矩阵 n阶单位矩阵，简记作In. IA=AI=A 等…… ●对角形矩阵——主对角线上的元素不全为零，其它的 元素都为0的方阵，简记作 。 ●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的 元素不全为0的方阵。如： 等…… ●下三角形矩阵——主对角线上方的元素全为零，下方 的元素不全为0的方阵。 数量矩阵 ●行矩阵（行向量）——只有一行的矩阵。 等…… ●列矩阵（列向量）——只有一列的矩阵。 等…… 等…… ●零矩阵 ——所有元素都为零的矩阵，简记作 。 ●方阵——行数和列数相等的矩阵。如： 等…… 二阶方阵 三阶方阵 n阶方阵 如 ●同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的 两个矩