【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第19章《整数的整除性》竞赛专题复习.docx

第三篇初等数论第19章整数的整除性§19．1整除19.1.1★证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．解析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．设三个连续的奇数分别为、、（其中是整数），于是．所以．又，而、是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以是偶数，从而是奇数，故．19．1．2★★若、为整数，且，之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．解析设，．若，从上面两式中消去，得．①所以．因为（17，3）=1，所以即．若，同样从①式可知．因为（17，5）=1，所以，即．19.1.3★★设是奇数，求证：．解析因为，、3、5是两两互质的，所以只需证明、3、5能整除即可．由于是奇数，有，，所以；又有，，所以；又有，，所以．所以．评注我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用表示，奇数常用表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数被3除时，余数只能是0、1、2这三种可能，因此，全体整数可以分为、、这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．19．1．4★★设为任意奇正整数，证明：能被2006整除．解析因为，所以为证结论成立，只需证为奇正整数时，能被2、17、59整除．显然，表达式能被2整除．应用公式，为奇数时，，.由于，，所以能被59整除.又，，所以能被17整除．19.1.5★★若整数不被2和3整除，求证：．解析因为既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成、、、、、这六类．由于、、是2的倍数，是3的倍数，所以只能具有或的形式，有时候为了方便起见，也常把写成（它们除以6余数均为5）．故具有的形式，其中是整数，所以．由于与为一奇一偶（若为奇数，则为偶数，若为偶数，则为奇数），所以，于是便有．19．1．6★★★求证：（为正整数）能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除．解析按模2分类．若为偶数，为正整数，则．由是奇数，是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设，于是，是奇数，不含有2的因数，所以能被2整除，但不能被2的更高次幂整除．若为奇数，为非负整数，则．由于是奇数，所以此时能被整除，但不能被2的更高次幂整除．19.1.7★★设是质数，证明：满足的正整数、不存在.解析用反证法．假定存在正整数、，使得.令，，，则.所以，，所以．由于是质数，可知，.令，则，所以．同理可得，.即、都含有这个因子，这与矛盾．19．1．8★★如果与都是大于3的质数，那么6是的约数.解析每一整数可以写成、、、、、中的一种（为整数），其中、、、在时都是合数，分别被6、2、2、3整除．因此，质数是或的形式.如果，那么是3的倍数，而且大于3，所以不是质数．与已知条件矛盾．因此．这时是6的倍数．评注本题是将整数按照除以6，所得的余数分为6类．质数一定是或的形式．当然，反过来，形如或的数并不都是质数．但可以证明形如的质数有无穷多个，形如的质数也有无穷多个．猜测有无穷多个正整数，使与同为质数．这是孪生质数猜测，至今尚未解决．19.1.9★★已知、是整数，能被3整除，求证：和都能被3整除．证用反证法.如果、不都能被3整除，那么有如下两种情况：（1）、两数中恰有一个能被3整除，不妨设，．令，（、都是整数），于是，不是3的倍数，矛盾．（2），两数都不能被3整除.令，，则，不能被3整除，矛盾．由此可知，、都是3的倍数．19．1．10★★若正整数、使得是素数，求证：.解析设是素数，则，所以，故，或者，故可得，且.令，是大于1的整数，则．19.1.11★证明：形如的六位数一定被7、11、13整除．解析．由此可见，被7、11、13整除．19．1．12★任给一个正整数，把的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的正整数，试证明：被9整除．解析除以9，与的数字和除以9，所得余数相同．除以9，与的数字和除以9，所得余数相同．与的数字完全相同，只是顺序相反，所以与的数字和相等．除以9与除以9，所得的余数相同，所以被9整除．19.1.13★.求被11除所得的余数．解显然，的奇数位数字和与偶数位数字和的差为.除以11的余数与除以11的余数相同，即余数为9．从而除以11，所得的余数为9．19．1．14★在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5分别整除．符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？解析要命名这个六位数尽可能小，而且能被5整除，百位数字和个位数字都应选0．这样，已知的五个数位上数字之和是5+6+8+0+0=19．要使这个六位数能被3整除，十位上可填2、5、8．由能被4整除的数的特征（这个数的末两位数应该能被4整除）可知，应在十位上填2．这