【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第9章《三角形》竞赛专题复习.docx

第9章三角形§9．1全等三角形9．1．1★已知等腰直角三角形，是斜边．的角平分线交于，过作与垂直且交延长线于，求证：．解析如图，延长、，设交于．则，，得，．又，平分，故平分，为中点，所以．9．1．2★在中，已知，、、分别为、、的中点，、为形外两点，使，，，，若，求的长．解析如图，连结、，则，，故．又，，故，所以，，又，所以，于是．9．1．3★在梯形的底边上有一点，若、、的周长相等，求．解析作平行四边形，则，若与不重合，则在（或延长线）上，但由三角形不等式易知，在上时，的周长的周长；在延长线上时，的周长周长，均与题设矛盾，故与重合，，同理，．9．1．4★★内，，，、分别在边、上，并且、分别是、的角平分线．求证：．解析延长到，使，连结．易知，所以，．因，所以，．于是．9．1．5★★设等腰直角三角形中，是腰的中点，在斜边上，并且．求证：．解析如图，作的平分线，在上．由于，，，故，故．又，，于是，于是．9．1．6★★设、都是等腰直角三角形，、是各自的斜边，是的中点，求证：也是等腰直角三角形．解析如图，作、、、分别垂直于直线，垂足为、、、．由，，，故有，．同理，，所以，．又得，且，故．又由，故结论成立．9．1．7★★已知，，、在上（靠近），求证：的充要条件是．解析如图，作，且，则，又，故，，且．若，则，因，得，则．反之，若，由得．又，故，又，于是．9．1．8★★两三角形全等且关于一直线对称，求证：可以将其中一个划分成3块，每一块通过平移、旋转后拼成另一个三角形．解析如图，设与关于对称，分别找到各自的内心、，分别向三边作垂线、、与、、，于是6个四边形……均为轴对称的筝形，且四边形四边形，所以两者可通过平移、旋转后重合；同理，另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合．9．1．9★★★已知：两个等底等高的锐角三角形，可以将每个三角形分别分成四个三角形，分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色，使得同色三角形全等．解析如图，设，至距离等于至距离，取各自的中位线、，则．由、均为锐角三角形，可在、上各取一点、，使图中标相同数字的角相等，于是，，，．评注还有一种旋转而不是对称的构造法．9．1．10★已知与中，，，，与是否一定全等？解析如图，让与重合，与重合，、在同侧，若与重合，则；否则由条件知四边形为梯形和圆内接四边形，于是它是一个等腰梯形，于是，，．综上，可知与全等．评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理来证明．9．1．11★★如图所示，已知、均为正三角形，、、分别为、和的中点，求证：为正三角形．解析如图，设、中点分别为、，连结、、、．则四边形为平行四边形，设，则，，又，，故，，于是为正三角形．评注注意有时在另一侧，此时，不影响最终结论．9．1．12★★★中，，．，，是中点，、分别在、上（可落在端点），满足，求的最小值（用、、表示）．解析如图，延长至，使，连结、、、由于是、的中点，故，，，又垂直平分，故．取中点（图中未画出），则，于是的最小值为，取到等号仅当即四边形为矩形时．9．1．13★★★已知为内一点，，由作、的垂线，垂足分别是、．设为中点，求证：．解析如图所示，取中点，中点，连、、、．显然四边形是平行四边形，所以，．．又由，所以，；同理，．由，所以，从而，所以．9．1．14★★在中，已知，、分别是边、上的点，且，，，求的度数．解析如图，延长到，使，连、．因为，所以，，．．于是，，．又因为，，所以，，．在和中，，，，所以，故．于是，．9．1．15★★在中，、为锐角，、、分别为边、、上的点，满足，，且．求证：．解析若，则在上取一点，使．连结并延长交于，连结．在与中，，，，故．于是有，，所以．又易知，因此．但另一方面，由，知，所以．从而．矛盾，故假设不成立．若，同法可证此假设不成立．综上所述，于是由知，从而．9．1．16★★如图，为边长是1的等边三角形，为顶角是的等腰三角形，以为顶点作一个角，角的两边分别交、于、，连结，形成一个．求的周长．解析延长到，使，连结．易知在与中有，，，从而．所以，．于是在与中有，，．从而，故．所以．9．1．17★★★为等腰直角三角形，，点、分别为边和的中点，点在射线上，且，点在射线上，且，求证：．解析取中点，连．在与中，，，，故．于是有，，．同样易知，于是有．在与中，，，由知，所以．于是有，．从而在与中有，，故．于是有，．总之，，即．9．1．18★★★已知，延长至，使，连结与交于，为的外心，则、、、共圆．解析如图连好辅助线，由于，故，设，则，又，，故，于是，于是，因此、、、共圆．9．1．19★★★已知和，，且，和分别是、的中点，，问两个三角形是否必定全等？解析如图，作出外心(及相应的、图中未画出)．若在上，则，此时与未必全等．若不与重合，则，，．当、、共线，则，，所以，，从而．当、、不共线，则，，于是（或），于是由三角