[理学]线代第四章课件.ppt

* * * * * 第四章 向量的内积与二次型 §1 向量的内积 §3 实对称矩阵 §2 正交向量组与正交矩阵 §4 二次型 第一节 向量的内积 引 言 力F作用于物体，使之沿水平方向前进S，则力F所做的功为 F 推广到三维向量空间： 设 则 对应分量乘积的和 向量内积与矩阵乘法的联系 3.1.1 向量的内积 定义 向量内积的运算律 由向量内积的定义即可证明以上运算率 性质 （1） 非负性 （2） 齐次性 3.1.2 向量的模 定义 如果 ，则称 为单位向量。 是单位向量，常记作 定理1 定理2 三角不等式 施瓦兹不等式 证明见书P72定理3.1 ：构造函数 由于 故 规定非零的n维向量 与 的夹角为 3.1.3 两个向量的夹角 定义 从而 物理应用 规定n维向量 与 的距离为 3.1.4 两个向量的距离 定义 即 例 设 求 解 余弦定理 证明： 几何意义：平行四边形中两对角线的平方和等于各边的平方和. 证明 第二节 正交向量组与正交矩阵 正交向量的定义 垂直概念 的推广 零向量与任意同维向量都正交 4.2.1 正交向量组 如果向量 的夹角为90℃，则 此时称 与 正交。 例 三个向量 找出它们之间相互正交 的关系。 解 =0 =0 =196 可见 与 正交， 与 正交， 与 非正交。 正交向量组 如果n维向量组 中的向量两两正交 就称为正交向量组，简称正交组。 如 是正交向两组 命题 若n维向量组 是正交向量组,且不含零向量,则 线性无关. 证明 所以 于是向量组 线性无关. 命题 证明 满足 矩阵A的列向量组是正交组 是对角矩阵 则 反过来，若 则 问题： 矩阵A的行向量组是正交组 如果矩阵A的行向量组是正交组，命题该如何表述？ 是对角矩阵 标准正交组 如果一个正交向量组全部由单位向量组成，就称其为标准正交向量组，简称标准正交组。 因为 构成标准正交组。 如 所以 是标准正交组，称为单位坐标向量组 3.2.2 施密特正交化方法 与 正交，即 如图：向量 是向量 在 上的投影向量 定理 设n维向量组 线性无关,令 Schmidt正交化方法 则得到的 是正交向量组,且与 等价 等价的标准正交向量组. 是与 例 把向量组S正交规范化 解 将 正交化，得 即为所求的标准正交向量组. 将 单位化： 解 它的基础解系为 例 已知 ，求一组非零向量 ，使 两两正交。 令