[理学]第四章根轨迹法新2.ppt

本章重点;本章难点; 闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系统其特征方程一般为高阶，直接用时域法求解困难。;1948年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方法——根轨迹法。 根轨迹：当系统中的某一或某些参量变化时，特征方程的根在s平面上运动的轨迹称为根轨迹。 考虑到开环零极点更易获取，在开环零、极点分布已知的情况下，可绘制闭环极点随系统参数变化（如放大系数）而在s平面上移动的轨迹（根轨迹）。 用途：① 对系统的性能进行分析； ② 确定系统应有的结构、参数； ③ 进行设计和综合。;§4－1　根轨迹的基本概念;2.用解析法绘制根轨迹（实例） 例1：;开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点;（1）当 Kg = 0时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点就是开环极点。 （2）当0＜Kg＜1时，s1、s2均为负实数，且位于负实轴的（－2，0） 一段上。 （3）当Kg = 1时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极点重合在一起。 （4）当1＜Kg＜∞时，s1，2 =－1± ，两个闭环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随Kg变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线上。 （5）当Kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞，此时s1、s2将趋于无限远处。 ;可根据根轨迹形状评价系统的暂态性能和稳态性能： （1）根轨迹增益Kg从0→∞时，根轨迹均在s平面左半部，在所有的Kg值下系统都是稳定的。 （2）当0Kg 1时，闭环特征根为实根，系统呈过阻尼状态，其阶跃响应为非周期过程。 （3）当Kg=1时，闭环特征根为相同负实根，系统处于临界阻尼状态，其阶跃响应为非周期过程。 （4）当Kg1时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态,其阶跃响应为衰减的振荡过程。; 由上述分析过程可知，系统的根轨迹分析的意义在于：由较易获取的开环零极点分布分析闭环极点的性质，从而，对系统的暂态性能和稳态性能进行分析。 但是，试探法不是绘制根轨迹的最合适方法，而且也太费时间。对于高阶系统，用这种解析的方法绘制出系统的根轨迹图是很麻烦的。实际上，闭环系统的特征根的轨迹都是根据??环传递函数与闭环特征根的关系，以及已知的开环极点和零点在根平面上的分布，按照一定的规则用图解的方法绘制出来的。;根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在s平面寻找闭环特征根的位置。;根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程; 相角条件方程和kg无关，s平面上任意一点，只要满足相角条件方程，则必定同时满足幅值条件，该点必定在根轨迹上，即对应不同的kg时的闭环极点，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。（实、虚轴选用相同的比例尺刻度）;幅值条件和相角条件应用 ;例：已知系统的开环传递函数如下，试判断 是否在根轨迹上。;（2）用幅值条件确定kg的值;小结： 相角条件 ? 判断是否是闭环极点（根） 幅值条件 ? 确定对应的根轨迹增益 图解法：注意坐标、比例 但是控制系统的根轨迹图不能遍历s平面上所有的点来绘制。因为在满足根轨迹条件方程的基础上，根轨迹的图是有一些规律的。依据绘制轨迹图的一些基本法则，就可以绘制出控制系统的根轨迹草图。;系统的特征方程为代数方程。 因为代数方程中的系数连续变化时，代数方程的根也连续变化，所以特征方程的根轨迹是连续的。 由于特征方程的根为实数或共轭复数（包括一对纯虚根），所以根轨迹必然对称于实轴。; 开环传递函数为n阶，故开环极点和闭环极点数目都为n个，当Kg从0→+∞变化时，n个根在s平面上连续形成n条根轨迹。 一条根轨迹对应一个闭环极点随Kg的连续变化轨迹。 根轨迹的分支数=系统的阶数;（3） 根轨迹的起点和终点;∴另外n－m条根轨迹终止于∞处（±∞，相角可为任意方向）。;（4）实轴上的根轨迹;②位于s1右边的实数零、极点： 每个零、极点提供180°相角。;-2;［例］设系统开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。 解：系统的开环零点为－0.5，开环极点为0（二重极点），－1，－1.5，－4（如图所示）。根据实轴上根轨迹的判别条件可以得到区间［－4，－1.5］右方的开环零点数和极点数总和为5，以及区间［－1，－0.5］右方的开环零点数和极点数总和为3，均为奇数，故实轴上根轨迹在上述两区间内如图中所示。;（5）根轨迹的渐近线 ; 若nm，当Kg从0→+∞时，有(n–m)条根轨迹分支沿着实轴正方向夹角θ，截距为 的一组