[理学]第四章概率论与数理统计.ppt

* * X的边缘分布律为 所以 例4.3.5 设A,B是二随机事件, 试证明X和Y不相关的充分必要条件是A与B独立. 证明 记 则 XY的可能取值为-1,1,并且 所以 因此 即X与Y不相关的充分必要条件为A与B独立. 这样我们就知道了二维正态分布的五个参数的含义． 解 所以 由此得 所以 因此 从而 解（1）由题意有 于是有 因此 （2）由题设 所以X与Y不独立。 注：如果随机变量X和Y都服从正态分布，只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时两个随机变量相关系数等于零才是它们独立的充分必要条件。否则，即使两个随机变量都服从正态分布，它们的联合分布也不一定是二维正态分布，此时相关系数等于零就仅仅是它们独立的必要条件。 4.3.3 协方差矩阵和多维正态分布 为n维随机向量X的数学期望向量，简称为X的数学期望，而称 定义3.4.4 若n维随机变量 的联合概率密度为 其中 是对称正定矩阵,则称 服从n维正态分布,记为 n维正态分布 n维正态随机向量的性质 1) 2) 是 的协方差矩阵; 4) 的任意k维子向量服从k维正态分布; 3) 相互独立的充分必要条件是它们 两两不相关; 5)若 服从n维正态分布, 则 服从m维正态分布. 设 为任意n维随机变量,则它服从 n维正态分布 的充要条件是它的任何 一个线性组合都服从一维正态分布: 解 (1) (2) 于是 §4.4 其他数字特征* 4.4.1 矩 中心矩与原点矩之间有如下关系： 当k为奇数时，上述被积函数是奇函数，故 4.4.2 分位数与中位数 从定义易知，下侧分位数和上侧分位数之间的关系是 由于标准正态分布的概率密度是偶函数，故其分位数还有下列性质： 中位数和数学期望一样也是随机变量位置的特征数，但在某些场合使用中位数可能比使用数学期望更合理，例如在一个贫富差距很大的国家，平均收入可能掩盖贫富差距很大现实，而中位数一般不会发生这种情况． * * * * 切比雪夫不等式 定理4.2.1 （切比雪夫不等式） 设随机变量的X的数学期望和方差均存在，则对任意的 ，有 或等价地，有 证明　仅对连续型随机变量给出证明． 上述不等式给出了在随机变量X的分布未知时对事件 的概率下界的一个估计. 记 , 则有 由于切比雪夫不等式对任何分布都成立，因此在很多情况下我们就不能指望得到的概率上界能够非常接近于真正概率．比如 所以 二项分布数字特征的简便求法 设 相互独立且均服从参数为p的0-1分布,则由前面的讨论知 则由数学期望与方差的性质,有 正态分布的数学期望和方差 由于 故 因此，正态分布的两个参数恰好就是相应随机变量的数学期望和方差． 结论: 若 则 例4.2.4 设随机变量X与Y相互独立且均服从正态分布 ，试求 . 解 令Z=X-Y，则Z服从正态分布，由于 所以 ，故 §4.3 协方差与相关系数 为了刻划两个随机变量之间的关系,本节讨论两个重要的数字特征:协方差与相关系数 4.3.1协方差 由前面的讨论知,若X与Y相互独立,则有 因此,若上式不成立,则X与Y 必不相互独立,也就是说,当上式的左端不等于零时,两个随机变量之间就存在着某种关系.因此量E(XY)－E(X)E(Y)在某种程度上刻划了两个随机变量之间的关系.我们将其称之为协方差. 定义3.4.1 设(X,Y)是二维随机变量，若 存在，则称此数学期望为X与Y的协方差,并记作 特别地，有 性质1 证明 性质2 若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0, 反之不然. 证明 这是因为若X与Y独立，则 X与Y不相关 X与Y相互独立 见下面的反例. 反之不然，即 例4.3.1 设(X,Y)服从单位圆 上的均匀分布,则它们的联合密度为 -1 1 -1 1 由对称性可知 因为 所以X与Y不相互独立. 由对称性 所以 即X与Y不相关 解 X的概率密度为 故 即Y与Z不相关，但是显然有 性质3 对于任意的二维随机变量(X,Y)，有 证明 因此，若X与Y不相关，则 以下四个命题是等价的： （1） （2）