章矩阵的初等变换与线性方程组.ppt

3. 初等变换求矩阵的秩 定理2.8 对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变 例： 解： 阶梯形 r ( A ) = 3 进一步 A A的标准形 注：若A 为 n 阶满秩方阵，则其标准形为 n 阶单位阵E。 定理2.9 一个矩阵的标准形是唯一的。 2.5 线性方程组有解的判定定理 一、线性方程组的基本形式 a11x1+…+a1nxn=b1, a21x1+…+a2nxn=b2, am1x1+…+amnxn=bm, ? (3.1.1) 的方程组，称为n个未知数m个方程的线性方程组。 形如 当b1,b2,…,bm全为0时，方程（3.1.1）成为 令A=(aij)m×n,, X=[x1,x2,…,xn]T, b=[b1,b2,…,bm]T 则得（3.1.1）矩阵形式 Ax=b (3.1.3) a21x1+…+a2nxn=0, am1x1+…+amnxn=0, ? (3.1.2) a11x1+…+a1nxn=0, 称为（3.1.1）对应的齐次线性方程组。 二、齐次线性方程组解的存在性 显然，齐次线性方程组总有零解。一般有如 下结论： 定理2.10 对于n元齐次方程组 Ax=0. 设 r(A) = r, 则 (I) r = n，有唯一解 (即零解)； (II) r < n，有无穷解，即有非零解. 例 设A是n阶方阵，证明，存在一个n×s矩阵 B≠0，使得AB=0的充要条件是︱A︱=0 。 证 将B按行分块B=（β1,β2, ???,βs）,则 齐次线性方程组Ax=0的解. AB=A（β1,β2, ???,βs）= （Aβ1,Aβ2, ???,Aβs） 故AB=0等价于Aβi=0(i=1,2???,s),即B的每一列都是 若AB=0,B≠0,则Ax=0有非零解,故r < n， 从而|A|=0; 反之,若|A|=0，则Ax=0有非零解。取Ax=0的 s 个非零解作为B的 s 个列,则B≠0,但AB=0. 2.1初等变换与矩阵等价 定义 2.1 对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换 (1) 互换两行 ( 记作 ri ? rj ); (2) 以数 ? ? 0 乘以某一行 ( 记作 ? × ri ); (3) 将第 j 行各元素乘以数?后加到第 i 行的对应元素上去 (记作 ri + ? rj ) 相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将 r 换成 c。 定义 2.2 如果矩阵A经过有限次初等变换后变 成B，则称矩阵A与B等价，记为A～B。 等价关系具有下列性质： （1）反身性，即A～A； （2）对称性，即若A～B，则B～A ； （3）传递性，即若A～B，B～C，则A～C 。 2.2 矩阵的标准型 一、阶梯形矩阵 满足以下条件的矩阵A被称为阶梯形矩阵： （1）A中若有零行（元素全为零的行），则零行以下的行全为零行； （2）非零行中左起第一个不为令的元素（称为首非零元）的位置按从上到下往右移动，即上一行的首非零元在下一行首非零元的左上方。 例如： 都是阶梯形矩阵， 而矩阵 都不是阶梯形矩阵。 二.矩阵的标准形 左上角为单位矩阵，其余元素全为零的矩阵称为标准形矩阵，即标准形矩阵具有如下的形式： 三、定理 定理2.1 任何非零矩阵都可以仅用初等行变换 化为阶梯形矩阵。 定理2.2 任何非零矩阵都可以用初等变换 化为标准形。 例 设 试用初等行变换把A化成阶梯型矩阵。 解 进一步，可再施行列变换把B化为标准型： 2.3 初等矩阵 定义1.4.6 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 定理2.3 n阶方阵A为可逆矩阵的充要条件是A的标准形为单位矩阵。 (1) ri ? rj ci ? cj 也得到 E (i, j) 第 i 行 第 j行 (2) ? × ri ? × ci 也得到 E( i (?)) 0 0 第 i 行 (3) ri + ? rj cj + ? ci 也得到 E ( i, j (? ) ) 第 i 行 第 j 行 初等矩阵都是可逆矩阵， 初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵 初等矩阵的性质 定理2.4 对A施行一次初等行变换，相当于在A的左侧乘以一个相应的初等矩阵； 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右侧乘以一个相应的初等矩阵； 例如： 设A是一个 m × n 矩阵 (1) A r1 ? r2 E(1, 2) A (2) A c3 ? c4 A E(3, 4) 定理2.5 若方阵A可逆，则存在有限个初等矩阵 P1, P2,…Pm, 使 A = P1 P2 … Pm 证：因为A可逆，则 r(A) = n，标准形为 En，必然 Q1 Q2 … QsAQs+1… Qm = En 即得证 存在有限次初等变