马尔可夫链应用于天气预报.doc

马尔可夫链应用于天气预报 摘要： 在《概率论与随机过程》课中学习了马尔可夫链，马尔可夫过程因其无后效性、遍历性和时齐性，在科学研究、天气预测、农业预测、市场预测等方面应用非常广泛。本文通过对马尔可夫链理论和切普曼－柯尔莫哥洛夫方程的探讨，结合天气因素、降水情况的不确定性和无后效性等诸多特点，构建了基于天气预报的马尔可夫链预测模型，文中给出了马尔可夫链的一步转移概率矩阵和多重转移概率的计算方法，根据此算法可以预报短期天气情况，达到预测天气的目的。 关键字：马尔可夫链 天气预报 转移概率 切普曼－柯尔莫哥洛夫方程 1 引言 天气变化情况与人们的生产、生活息息相关，是人们普遍关注的重点问题之一。所以天气预报的准确性与时效性就显得尤为重要，否则将对人们带来不便，甚至有可能带来重大经济和人员损失。本文借助随机过程中著名的马尔可夫链模型，以某日天气的状态转移数据为例，建立了天气情况预测模型，并借助该模型应用马尔可夫链的遍历性，对未来天气的变化趋势作出了预测分析。由于马尔可夫过程应用广泛，它的重要特征是无后效性和遍历性。因此，运用马尔可夫链，只需要最近或现在的动态资料则可按转移概率可预测将来，这样就可以很方便地达到预测天气变化的目的。 2 马尔可夫链预测模型 2.1 马尔可夫链的概念和特性 马尔可夫过程是指具有以下特性的过程：过程X(t)（或系统）在时刻t0所处的状态为已知的条件下,过程在时刻t＞t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关，只与时刻t0所处的状态有关，这种特性称为马尔可夫性或无后效性。则称X(t)为马尔可夫过程。 马尔可夫链实际上就是状态和时间都是离散的马尔可夫过程。这一特性可用分布函数来确切地表出：设随机过程{X(t),t(T}，状态空间为(，若对于t 的任意n个值t1<t2<…<tn,n(3,有 则称过程{X(t),t(T}具有马尔可夫性，并称此过程为马尔可夫过程。 若对于任意的正整数n，r和任意的 且，有 其中a.((, 称｛Xn,n=0,1，2，…｝为马氏链。 最重要的是转移概率 ，表示马氏链在时刻m处于状态ai的条件下，在时刻m+n转移到状态aj的转移概率。 很容易得到 表示链在时刻m从任何一个状态ai出发，到另一时刻m+n必然转移到a1,a2,…诸状态中的某一个，所以概率和为1。 马氏链的转移概率矩阵：由转移概率组成 马尔可夫链的齐次性：若对任意的正整数m1, m2， n及任意的ai，aj，有 即马氏链{Xn,n(0}的转移概率Pij(m,m+n)与m无关，则称转移概率具有平稳性，这时，马尔可夫链称为是齐次的。 马尔可夫链的n步转移概率： 为齐次马氏链{Xn,n≥0}的n步转移概率，并称由Pij(n)组成的矩阵 为n步转移概率矩阵。 马尔可夫链的一步转移概率： pij表示由状态ai经一步转移到状态aj的概率。 马尔可夫链的遍历性：设齐次马尔可夫链的状态空间为(，如果对于所有的ai , aj((, 转移概率pij(n) ,当n→∞时，存在不依赖于i的极限 则称此链具有遍历性，又若 ,称 (=((1,(2,…)为马尔可夫链的极限分布。 设齐次马氏链｛Xn,n(0｝的状态空间为(＝{a1, a2,…,aN}，如果存在正整数m，使对任意的ai ,aj((，都有 Pij(m)>0, i , j =1,…,N，则此链具有遍历性，且有极限分布(=((1,(2,…, (N)，它是方程组 的满足条件(j>0, 的唯一解。 在定理条件下，马氏链的极限分布是平稳分布，即若用(作为链的初始分布，p(0)=(，则链在任一时刻n的分布p(n)永远与(一致.因为 2.2 Chapman-Kolmogorov（切普曼－柯尔莫哥洛夫）方程 设{Xn，n=0,1,…}为齐次马氏链，则对于任意的正整数k，m，有 ，此方程称为Chapman-kolmogorov(切普曼－柯尔莫哥洛夫)方程，简称C-K方程。 如果把转移概率写成矩阵的形式，那么C－K方程具有以下简单的形式 P(m+k)=P(m)P(k) ，m, k≧0，特别地，P(n)=Pn, n步转移概率由一步转移概率完全决定。 这样，如果知道了马尔可夫链的初始概率，即初始时刻各个状态的概率，并且知道它的一步转移