经济数学 CH2 矩阵代数.ppt

1、向量 向量：一个有序数组，既可以按行排列，也可以按列排列。 向量符号一般表示列向量，转置可以变成行向量。 用′或T表示转置。 一般用小写黑体字母表示向量，大写黑体字母表示矩阵。 向量的阶（维）是向量的元素的个数。 2、标量（纯量）乘法 用一标量乘以向量的每个元素。 3、加减法 当向量都是行向量或都是列向量，且阶相等时，向量可以加减，即对应元素相加或相减。 4、线性组合 向量的标量乘法和向量加法两种运算相结合，可以用来表示一个向量是几个其他向量的线性组合。 5、向量的几何意义 向量可以用有方向的直线线段来描绘。 两个二维向量相加满足平行四边形定律。 向量的标量乘法： 例如，2a与a同方向，长度是a的长度的2倍。 6、向量乘法 两个相同阶的向量的标量积、点积和内积定义为： 1、基本定义 矩阵：一个方形数字的排列。记为：A=[aij] 矩阵可以看成一个列（行）向量组。 矩阵的阶由行数和列数所决定，如m×n阶矩阵。 A的转置矩阵A’，将A的行变成列。 矩阵和的转置等于转置矩阵的和： (A+B)’=A’+B’ 2、矩阵乘法 若A是m×n阶矩阵，若B是n×p阶矩阵，则矩阵C=AB是m×p阶。 矩阵相乘时，A的列数要与B的行数相等。 矩阵C的元素cij是A的第i行与B的第j列对应元素的内积，即： 3、一些重要的方阵 n×n阶单位矩阵或恒等矩阵表示为I。主对角线上为1，其他元素为0。 用单位矩阵左乘列向量，或右乘一个行向量，结果不变。 如Ia=a，a’I=a’ 用单位矩阵左乘或右乘一个矩阵，结果不变。 对角矩阵：只在主对角线上才出现非零元素的方阵。 简洁地表示为：Λ=diag{λ1 λ2 …λn} 标（纯）量矩阵：所有对角元素都相等的对角矩阵。 对称矩阵： A=A’，即 aij=aji，i≠j。 幂等矩阵：A的若干次幂仍等于自身。A=A2=A3= 方阵的一个重要性质是迹，tr(A),等于主对角线上所有元素之和。 若A是m×n阶矩阵，若B是n×m阶矩阵，则AB和BA都是方阵，且迹相等。 4、矩阵几何 定义 如果一个向量空间中任一向量都能写成一组向量的线性组合，则这组向量称为向量空间的一个基。 任何一对不同方向的两元素向量，都将形成R2的一个基。 例：如果a和b是一个基，则可以找到数字λ1和λ2使得c=λ1a+λ2b，即 定义 如果一组向量中有一个向量能表示成其余向量的一个线性组合，则这组向量是线性相关的。 定义 当且仅当 λ1a1+λ2a2+…+λKaK=0 的惟一解是 λ1=λ2=…=λK=0 时，这组向量是线性无关的。 定义 K维向量空间中的一个基是此空间中任意K个线性无关向量的集合。 因为任意第（K+1）个向量都可以表示为K个基向量的一个线性组合，因此，RK中任何多于K个向量的向量组一定是线性相关的。 定义 一组向量的所有线性组合所构成的集合是由这些向量张成的向量空间。 如，由R2的一个基所张成的空间就是R2。 考虑三维向量： a’=[a1 a2 0] 和 b’=[b1 b2 0] 由于第三个坐标为0，它们不能张成三维空间。 但是，若a和b线性无关，则任何第三个元素为0的三维向量都能表示成a和b的线性组合。 因此，虽然a和b不能张成R3，但它们能张成R3中第三个元素为0的向量集合，这个集合是三维空间中的一个平面，即R3中的一个子空间。 同理，R3中的任一条直线都是一个一维子空间。 注意：子空间并不是一个低维空间。 RK中一组向量张成的空间至多有K维，若这一空间的维数小于K，则它是一个子空间，或称超平面。 5、矩阵的秩 可以将矩阵看做是列向量集合，矩阵的列数等于集合中向量的个数，矩阵的行数等于列向量的坐标数。 定义 矩阵的列秩是由其列向量所张成的向量空间的维数。 矩阵的列秩等于它所含的线性无关的列向量的最大数目。 结论 矩阵的行秩和列秩相等，矩阵的行空间和列空间具有相同的维数。 由于列秩与行秩相等，可以统称为矩阵的秩： 秩（A）=秩（A’）=秩（AA’） 秩（AB）≤min（秩（A），秩（B）） 秩（A）=秩（A’）≤min（行数，列数） 若A是M×n矩阵，B是秩为n的矩阵，则秩（AB）=秩（A） 列满秩：列秩等于列数。 对称矩阵的秩是它所含的非零特征值的个数。 任何矩阵A的秩都等于A’A中非零特征值的个数。 6、矩阵的行列式 矩阵 用一个纯量c乘以k阶对角矩阵D等价于用c去乘盒子各边的长度，这将使其体积增大cK倍，因此： 7、矩阵微分 为了对线性函数求微分，将其写成： f(x)=a’x=a1x1+a2x2+…+akxk=x’a a为常数。 将f(x)对每个xi求偏导，得到列（行）向量： 8、特征值和特征向量 分析方阵时，特征值和特征向量非常有用。 令A是n×n方阵，c是非零的n维向量，λ是纯量（实数或复数），使得Ac=λ