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带拉格朗日余项的泰勒公式
f(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+
rac{f(x_0)(x-
x_0)^2}{2!}++
rac{f^{(n)}(x_0)(x-
x_0)^n}{n!}+p_n(x)
【p_n(x)就是我们的余项,显然它是一个从a(x-x_0)^{n+1}
开始的、有无穷多项的…多项式函数】
然后,对f(x)做n次求导:
(1)f(x)=0+f(x_0)+f(x_0)(x-
x_0)^1++
rac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^{n-
1}}{(n-1)!}+p_n^{}(x)
(2)f(x)=0+0+f^{(3)}(x_0)++
rac{f^{(n)
}(x_0)(x-x_0)^{(n-2)}}{(n-2)!}+p_n^{}(x)
(...)
(n)f^{(n)}(x)=0+0+0++f^{(n)}(x_0)+p_n^{(
n)}(x)
获得第n式,化简得:f^{(n)}(x)-
f^{(n)}(x_0)=p_n^{(n)}(x)
使用拉格朗日中值定理,把上式左边替换为:
xi)·(x-x_0)
得:xi)·(x-x_0)
看得出,这个式子形如y^{(n)}=k(x-x_0),非常简单,只需
高中知识就能推出原函数
最后,就是不停地积分,直到回到p_n(x)
对xi)·(x-x_0)做n
次积分就得到xi)·(x-
x_0)^{n+1}}{(n+1)!}
大功告成!
补充:
还记得之前说过的吗:”p_n(x)是一个从a(x-
x_0)^{n+1}开始的多项式函数“
这说明:在n次求导过程中,p_n(x)的(x-x_0)
一直残留着,故p_n^{(n)}(x_0)总是为零,
也就是说,p_n(x)的导函数们起点全都是零,所以
积分的时候不必担心初始值的累积,干就完事儿!
补充2:
在原回答【泰勒公式的拉格朗日余项怎么理解?】中有同学指
出是一个和x有关的变量,积分时不能直接当作常量带
入,ta说的对,我正准备大改,却发现:
在“积分第一中值定理”的保障下,这个积分过程其
实是合理的,只是描述上不够严谨。
积分第一中值定理:
。
也就是说:每次积分都在变,但是只是从
f^{(n+1)}(x)的一个位置变到另一个位置而已,积
分n次依然逃不出f^{(n+1)}(x)的五指山。
所以积分过程中看起来像是一个常量一样。
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