九章平面几何讲曲线与方程.pptx

考点突破考点一：直接法求轨迹方程考点二：定义法求轨迹方程考点三：相关点法(代入法)求轨迹方程课堂小结第8讲曲线与方程夯基释疑思想方法易错防范概要基础诊断

夯基释疑

(1)解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．考点一直接法求轨迹方程考点突破化简得y2＝8x(x≠0)．当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.H

(2)证明由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋640.考点一直接法求轨迹方程考点突破

考点一直接法求轨迹方程考点突破因为x轴是∠PBQ的角平分线，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1，0)．

规律方法考点突破(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简．(2)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．考点一直接法求轨迹方程

考点突破考点一直接法求轨迹方程解(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，

考点突破考点一直接法求轨迹方程消去y并整理，得5x2－8cx＝0.设点M的坐标为(x，y)，

考点突破考点一直接法求轨迹方程所以x＞0.

考点突破考点二定义法求轨迹方程解由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，

(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．(2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．规律方法考点突破考点二定义法求轨迹方程

解(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0，－4),C2(0，2),由题意得|CC1|＝|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，－1)，直线C1C2的斜率不存在，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，其方程为y＝－1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.考点突破∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.考点二定义法求轨迹方程

(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0，1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0，1)为焦点，顶点在原点的抛物线，考点突破所以轨迹Q的方程是x2＝4y.考点二定义法求轨迹方程

考点突破故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①将①式代入②式，消去y0，考点三相关点法(代入法)求轨迹方程

考点突破又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x，再将③式代入y1＝x，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.因λ＞0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.考点三相关点法(代入法)求轨迹方程

规律方法考点突破考点三相关点法(代入法)求轨迹方程

考点突破解设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，∴(x0，－y0)·(1,－y0)＝0，考点三相关点法(代入法)求轨迹方程即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.

思想方法课堂小结

易错防范课堂小结1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要