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空间向量知识点

1.空间向量的概念:在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注:(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2.空间向量的运算。

定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;;OBOAABab,，,，BAOAOBab,,,,OPaR,,,,()

,,,,运算律:?加法交换律:a，b,b，a

,,,,,,?加法结合律:(a，b)，c,a，(b，c)

,,,,?数乘分配律:,(a，b),,a，,b

3.共线向量。

(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向

,,,,aba//b量，平行于，记作。

,,,,,,aaabbb当我们说向量、共线(或//)时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

,,,,,,,,aaabbbb0(2)共线向量定理:空间任意两个向量、(?)，//存在实数λ，使,λ。

4.空间向量的直角坐标系:

(1)空间直角坐标系中的坐标:

A在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，有序实数组Oxyz,(,,)xyz

Ayx(,,)xyz叫作向量在空间直角坐标系Oxyz,中的坐标，记作Axyz(,,)，叫横坐标，叫纵坐标，z叫竖坐标。

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)空间向量的直角坐标运算律:(2

,,

?若，，aaaa,(,,)bbbb,(,,)123123

,,

则，abababab，,，，，(,,)112233

,,

，abababab,,,,,(,,)112233

,

，,,,,,aaaaR,,(,,)()123

,,

，abababab,,，，112233

,,

，ababababR//,,(),,,,,,,,,112233

,,

。abababab,,，，,0112233

,,,,?若，，则。Axyz(,,)Bxyz(,,)ABxxyyzz,,,,(,,)111222212121一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

,,

(4)模长公式:若，，aaaa,(,,)bbbb,(,,)123123

,,,,,,222222||aaaaaa,,,，，||bbbbbb,,,，，则，123123

,,,,ababab，，ab,112233,,cosab,,,(5)夹角公式:。222222||||ab,aaabbb，，，，123123(6)两点间的距离公式:若，，Axyz(,,)Bxyz(,,)111222

,,,,,,,,2222||()()()ABABxxyyzz,,,，,，,则，212121

222dxxyyzz,,，,，,()()()或AB,212121

5.空间向量的数量积。

,,,,,,,,,,,,O(1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量，在空间任取一点，作，则OAaOBb,,,ab,

,,,,,,,,,,，AOBab叫做向量与的夹角，记作;且规定，显然有;若,,ab,0,,,,,ab,,,,,,abba,,

,,,,,,,a,,,ab,bab,，则称与互相垂直，记作:。2

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,,,,,,,,,,,a(2)向量的模:设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作:。OAa,OA||a

,,,,,,,,,,(3)向量的数量积:已知向量，则叫做的数量积，记作，即ab,ab,||||cos,abab,,,,ab,,,,,,,。ab,,||||cos,abab,,,,

(4)空间向量数量积的性质:

,,,,,,,,,,,,2?。?。?。abab,,,,0aeaae,,,,||cos,||aaa,,

(5)空间向量数量积运算律:

,,,,,,,,,,?。?(交换律)。abba,,,()()(),,,ababab,,,,,

,,,,,,,?(分配律)。abcabac,，,,，,()

要点考向1:利用空间向量证明空间位置关系

,PABCD,ABDC//ABCD例1已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，DAB,90,PA,

1PBAB,1M，，是的中点PAADDC,,,2

PCDPAD,(?)证明:面面;

ACPB(?)求与所成的角;

AMCBMC(?)求面与面所成二面角的大小

要点考向2:利用空间向量求线线角、线面角(1)异面直线所成角

设分别为异面直线的方向向量，则(2)线面角

,

ln设是直线的方向向量，是平面的法向量，则

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