(6.3)--1.3举例空间解析几何.ppt

图1举例：应用向量的线性运算解初等几何问题1.3举例：应用向量的线性运算解初等几何问题向量的线性运算可以用来解有关“仿射”性质的初等几何问题，本节通过举例说明如何使用向量方法和坐标方法。组成一个三角形的充要条件是(1.3.1)解例1在三角形的边上取点，边上取点，边上取点，试求以向量，和边构成三角形的条件.

举例：应用向量的线性运算解初等几何问题设,则组成一个三角形的充要条件是(1.3.1)解

举例：应用向量的线性运算解初等几何问题将以上三个等式两边分别相加，得(1.3.2)或若,则

举例：应用向量的线性运算解初等几何问题但不共线，因而线性无关,故即.由此可知,若构成三角形,则在各边上取的点应满足下列条件(1.3.3)

举例：应用向量的线性运算解初等几何问题于是构成一个三角形的充要条件是(1.3.3)式成立，即在三角形各边上取的分点使得截成的线段与所在的边成定比.反之，若条件(1.3.3)式成立，则由(1.3.2)式得即(1.3.1)式成立.

举例：应用向量的线性运算解初等几何问题例2试证：连接平行四边形的一个顶点至对边中点的直线段三等分对角线.证明设在平行四边形中,分别是边上的中点，分别交于两点(图1.21).图2

举例：应用向量的线性运算解初等几何问题因此证法一用向量法证.设,则为某一实数.又令,为某一实数.

举例：应用向量的线性运算解初等几何问题同理可证，于是解得，所以由于线性无关，所以

举例：应用向量的线性运算解初等几何问题注从上面两题可见，用向量法讨论初等几何问题,应该在图形中选定线性无关的向量,其他的向量则设法用它们线性表示，再利用给定的条件确定相应的关系.下面利用坐标方法来证.

图3举例：应用向量的线性运算解初等几何问题证法二在平行四边形中，设，建立平面仿射坐标系.各点的坐标分别为

举例：应用向量的线性运算解初等几何问题假设与交于点，因此可设根据线段的定比分点公式，点的坐标及

举例：应用向量的线性运算解初等几何问题同样的方法可得到与的交点的坐标为因此为线段的两个三等分点.于是解得，从而点G的坐标为,.

举例：应用向量的线性运算解初等几何问题小结2用向量法讨论初等几何问题,应该在图形中选定线性无关的向量,其他的向量则设法用它们线性表示，再利用给定的条件确定相应的关系1三线共点和三点共线是初等几何中的常见问题,这类问题可以利用向量法或坐标法来解决.