概率的基本性质教案01.docxVIP

3.1.3概率的基本性质

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学习提示

1.理解事件的包含关系、事件的相等、并事件（和事件）、交事件（积事件）、互斥事件、对立事件等基本概念.

2.掌握概率的基本性质.

重点是对基本概念及性质的理解，难点是性质的应用.

［教材优化全析］

全析提示

我们知道，一个事件可能包含试验的多个结果，比如在掷骰子这个试验中，“出现的点数小于或等于3”这个事件就包含了“出现的点数为1”“出现的点数为2”“出现的点数为3”

构成事件的每一个结果看作元素，而每一个事件看作一个集合，那么事件间关系与运算类同于集合间关系与运算.

对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作BA（或AB）.

若BA，同时AB，那么称事件A与事件B相等，记作A=B.

事件A发生，则事件B发生，说明构成事件A的结果也在事件B中，故为子集关系.

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A+B）.

并（和）事件的每一个结果都在事件A或事件B中，恰为集合的并集.

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）.

事件A、B同时发生，即找两事件所包含的公共结果，即取交集.

若A∩B为不可能事件（A∩B=），那么称事件A与事件B互斥.

事件A、B互斥，用集合观点就是A∩B=，但A∪B不一定等于U（U为全集）.

若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件.

事件A、B对立，即A∩B=，且A∪B=U.

两个事件互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交.例如，从一堆产品（其中正品和次品都多于2件）中任取2件，其中：（1）“恰有一件次品和恰有两件次品”就是互斥事件；（2）“至少有一件次品和全是次品”就不是互斥事件；（3）“至少有一件次品和全是正品”也是互斥事件.再如，掷一个六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字的正方体玩具.事件A：向上的数字大于4，事件B：向上的数字小于3，两种事件不可能同时出现，则A、B是互斥事件；若事件A：向上的数字大于4，事件B：向上的数字为偶数，则A、B两事件不是互斥的，因为向上的数字为6时，既是事件A发生，又是事件B发生.

判断两个事件是否互斥就是研究代表两个事件的集合有无公共部分，若有则一定不互斥，若没有则一定互斥.

对于对立事件，从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.由互斥事件和对立事件的定义知，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.如掷正方体玩具向上的数字大于4（事件A）和向上的数字小于3（事件B）两个事件，A、B是互斥的但不是对立的，因为A、B两个事件可以都不发生.若事件A是向上的数字为偶数，事件B是向上的数字为奇数，则A、B是对立事件.

对立事件就集合而言就是互为补集关系.

互斥是对立的前提，对立必定互斥，但互斥不一定对立.

概率的基本性质共有5条：

（1）0≤P（A）≤1；

（2）P（E）=1（E为必然事件）；

（3）P（F）=0（F为不可能事件）；

（4）如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；

（5）如果事件A与事件B对立，则P（A）=1－P（B）.

下面就性质（4）、（5）给出证明.

应牢记概率的5条性质，它是我们进行计算或证明的基础.

假定A、B是互斥事件，在n次试验中，事件A出现的频数是n1，事件B出现的频数是n2，则事件A∪B出现的频数正好是n1+n2，所以事件A∪B的频率为

=+.

而是事件A出现的频率，是事件B出现的频率.因此，如果用fn表示在n次试验中事件出现的频率，则总有fn（A∪B）=fn（A）+fn（B）.

由概率的统计定义可知

P（A∪B）=P（A）+P（B）.

此结论还可以进一步推广：

因为频率是概率的近似值，故证明概率之间的关系应利用频率进行.频率的运算是利用集合中元素个数的计算方法.

如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生（是指事件A1，A2，…，An中至少有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P（A1∪A2∪…∪An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.

概率的加法公式可以推广为n个互斥事件，要注意这n个事件必须两两互斥.

当事件A、B对立时，这时A、B必定互斥，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）.而这时A∪B=E（E为必然事件），∴P（A∪B）=1，故P（A）+P（B）=1，即P（A）=1－P（B）.这个公式为我们求出P（A）提供了一种方法，当我们直接求P（A）有困难时，常可以转化为求其对立事件B的概率P