精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版）.docxVIP

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北京市西城区北京师范大学附属实验中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

班级____________姓名____________学号____________成绩____________

考生须知：

1．本试卷共4页，共三道大题，21道小题，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟．

2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．

3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．

4．在答题卡上，选择题须用铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答．

命题人:屈伸，王宁审题人：黎栋材

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1.已知等差数列中，，则（）

A.8 B.9 C.12 D.18

2.已知数列的前项和，则（）

A.16 B.32 C.48 D.64

3.下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是（）

A. B. C. D.

4.函数导函数为（）

A. B.

C. D.

5.已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（）

A. B. C. D.

6.已知数列满足:．若，则（）

A. B. C. D.

7.已知为无穷等差数列，则“存在且，使得”是“存在且，使得”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.记，则（）

A. B. C. D.

9.已知函数，记，下列说法中正确的是（）

A.在上单调递增 B.在上单调递减

C.在上单调递增，在上单调递减 D.在上单调递减，在上单调递增

10.已知函数，下列说法不正确的是（）

A.若，则在上单调递增 B.若0为的极大值点，则

C.的图象经过一个定点 D.若，则方程有三个不相等的实数根

二、填空题(本大题共5小题，、每小题5分，共25分)

11.已知等比数列中，，则的公比为___________．

12.若函数在区间上的平均变化率恰等于其在处的瞬时变化率，则___________;___________．

13.设等差数列公差为，前项和为，已知．

（1）若，则___________;

（2）若，则的最小值为___________．

14.已知函数，则的极大值为___________；的单调递减区间为___________．

15.设为无穷数列，记，其中为常数且．给出下列四个结论:

①若，则为单调递增数列；

②若，则为单调递减数列；

③若，则对任意且均存在最大项；

④若，则对任意且均存在最小项．

其中所有正确结论的序号是____________．

三、解答题(本大题共6小题，共85分)

16.已知函数．

（1）求在处的切线方程;

（2）求的单调区间和极值．

17.已知数列满足:，且对任意，都有．

（1）直接写出值;

（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．

18.已知为等差数列，为各项均为正的等比数列，．

（1）求和的通项公式;

（2）求前项和;

（3）若对任意，有恒成立，求实数的最小值．

19.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示．已知M，N为的两个端点，点到的距离分别为20千米和5千米，点到的距离分别为4千米和25千米，分别以所在的直线为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy．假设曲线符合函数（其中a，k为常数）模型．

（1）求a，k的值；

（2）设公路与曲线相切于点，点的横坐标为．

①求公路所在直线的方程；

②当为何值时，公路的长度最短?求如最短长度．

20已知函数．

（1）当时，求的零点；

（2）讨论在上的最大值；

（3）是否存在实数，使得对任意，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

21.若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P.

（1）①若，写出所有具有性质P的数列；

②若，写出一个具有性质P的数列；

（2）若，数列具有性质P，求的最大项的最小值；

（3）已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值.