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顺义一中2023-2024学年度第二学期高二年级4月考试
数学试卷
本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将答题卡交回.
一、单选题(本大题共10小题,共40.0分)
1.函数在处的瞬时变化率为()
A.-2 B.-4 C.- D.-
【答案】D
【解析】
【分析】对函数求导,将代入导函数求值即可得瞬时变化率.
【详解】由题设,故.
故选:D
2.用可以组成无重复数字的两位数的个数为()
A.25 B.20 C.16 D.15
【答案】C
【解析】
【分析】利用间接法,结合排列数公式,即可求解.
【详解】从中任选两个数字,组成两位数的个数有个,
其中数字0排首位的有4个,
所以满足条件的两位数有个.
故选:C
3.已知数列的前项和,则()
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】
【分析】根据关系解决即可.
【详解】由题知,数列的前项和,
所以,
故选:C
4.已知函数的导函数的图象如图所示,那么()
A.函数在上不单调
B.函数在的切线的斜率为0
C.是函数的极小值点
D.是函数的极大值点
【答案】D
【解析】
【分析】根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可
【详解】对A,在上,故函数在上单调,故A错误;
对B,,故函数在的切线的斜率大于0,故B错误;
对C,左右两边都有,故不是函数的极小值点;
对D,且在左侧,右侧,故是函数的极大值点,故D正确;
故选:D
5.已知函数在定义域D内导数存在,且,则“”是“是的极值点”的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先验证充分性,不妨设,在处有,但为单调递增函数,不是极值点;再验证必要性,即可得结果.
【详解】充分性:不妨设,则,在处有,但是,为单调递增函数,在处不是极值,故充分性不成立.
必要性:根据极值点的性质可知,极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点,因为函数在定义域内可导,所以不存在不可导的点,因此导数为零的点就是极值点,故必要性成立.
故选:B
6.若曲线在点处的切线方程为,则()
A.2 B.0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出导数,将代入后,可得,将代入后可得,进而得到.
【详解】由得,
又曲线在点处的切线方程为,
故当时,
又点在上,则,故.
故选:A.
7.将封不同的信分别投入到个信箱中,则不同的投送方式的种数为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分步乘法计数原理可得答案.
【详解】将封不同的信分别投入到个信箱中,每封信都有4个信箱可选,
共有,
则不同的投送方式的种数为.
故选:A.
8.已知函数,则的大小关系为()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数的图象,观察与连线的斜率即得.
【详解】作出函数的图象,如图所示.
由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由,得,即.
故选:C.
9.如果函数在区间上单调递增,那么实数的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得在上恒成立,分离参数,构造新函数,根据新函数的单调性即可求解.
【详解】函数的定义域为,且,
因为函数在区间上单调递增,
所以在上恒成立,即在上恒成立.
因为在上单调递增,所以,
所以,即实数的取值范围为.
故选:D.
10.已知函数,下列命题正确的是()
①是奇函数;
②在R上是增函数;
③方程有且仅有1个实数根;
④如果对任意,都有,那么的最大值为2.
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】对于①,根据奇函数的定义判断,对于②,对函数求导后利用导数判断,对于③,令,可得,再结合零点存在性定理分析判断,对于④,问题转化为恒成立,构造函数,求导后分析判断.
【详解】对于①,因为的定义域为,
且,所以是奇函数,所以①正确,
对于②,由,得,
所以在上增函数,所以②正确,
对于③,令,
因为,所以方程所以有一个根为0,
因为,,
所以方程在至少有一个根,所以③错误,
对于④,若对任意,都有,即恒成立,
令,则,
,当且仅当,即时取等号,
因为,所以取不到等号,所以,
若,则恒成立,所以在上递增,
所以,即恒成立,
若,则存在使,
所以当时,,当时,,
所以在上递减,在上递增,
所以在上,有不合题意,
综上,,所以的最大值为2,所以④正确,
故选:B
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