2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第46讲圆的方程学生版.docVIP

第46讲圆的方程

思维导图

知识梳理

1．圆的定义与方程

2．点与圆的位置关系

圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)．

题型归纳

题型1求圆的方程

【例1-1】已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则圆C的标准方程为．

【例1-2】已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）

A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2

C．（x+1）2+（y﹣1）2＝4 D．（x+1）2+（y+1）2＝4

【例1-3】已知圆C与y轴相切，圆心在x轴的正半轴上，并且截直线x﹣y+1＝0所得的弦长为2，则圆C的标准方程是．

【跟踪训练1-1】在直线l：y＝x﹣1上有两个点A、B，且A、B的中点坐标为（4，3），线段AB的长度|AB|＝8，则过A、B两点且与y轴相切的圆的方程为（）

A．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣11）2+（y+4）2＝121

B．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4或（x﹣12）2+（y+5）2＝144

C．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣12）2+（y+5）2＝144

D．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4或（x﹣11）2+（y+4）2＝121

【跟踪训练1-2】已知圆C与圆（x﹣1）2+y2＝1关于原点对称，则圆C的方程为（）

A．x2+y2＝1 B．x2+（y+1）2＝1

C．x2+（y﹣1）2＝1 D．（x+1）2+y2＝1

【跟踪训练1-3】已知圆心为点C（1，﹣1），并且在直线4x﹣3y﹣2＝0上截得的弦长为2的圆的方程为（）

A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x+1）2+（y﹣1）2＝4

C．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝4

【名师指导】

1．求圆的方程常见的三种类型

(1)已知不共线的三点．

(2)已知两点及圆心所在的直线．

(3)已知直线与圆的位置关系．

2．求圆的方程的两种方法

几何法

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程

待定系数法

①根据题意，选择标准方程与一般方程；

②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；

③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程

3．确定圆心位置的方法

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．

(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．

题型2与圆有关的最值问题

【例2-1】已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，求：

（1）的最大值和最小值；

（2）y﹣x的最小值；

（3）x2+y2的最大值和最小值；

（4）2x2+y2﹣4x﹣6的最大值．

【例2-2】已知P（x，y）是圆x2+（y﹣3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（﹣2，0），则的最大值为（）

A．12 B．0 C．﹣12 D．4

【跟踪训练2-1】已知圆C：（x+2）2+y2＝1，P（x，y）为圆C上任一点，

（1）求的最大、最小值；

（2）求x﹣2y的最大、最小值．

【跟踪训练2-2】已知P（x，y）是圆x2+（y﹣3）2＝a2（a＞0）上的动点，定点A（2，0），B（﹣2，0），△PAB的面积最大值为8，则a的值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【名师指导】

借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．

1．形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．

2．形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

题型3与圆有关的轨迹问题

【例3-1】已知动点M到两定点A（1，1），B（2，2）的距离之比为．

（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与直线l：2x+y﹣6＝0夹角为30°的直线，交l于点Q，求|PQ|的最大值和最小值．

【跟踪训练3-1】在平面直角坐标系xOy中，已知点B（2，0），C（﹣2，0），设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝﹣，记点A的轨迹为E．

（1）求E的方程；

（2）若直线l：y＝x+1与E交于P，Q两点，求|PQ|．

【名师指导】

求与圆有关轨迹问题的3种方法

(1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．

(2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可