2024年新高考数学一轮复习达标检测第17讲导数的应用__利用导数研究不等式恒成立能成立问题教师版.docVIP

《导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题》达标检测

[A组]—应知应会

1．已知函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若?x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是()

A．a≤1 B．a≥1

C．a≤2 D．a≥2

【解析】选A.由题意知f(x)mineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))))≥g(x)min(x∈[2，3])，因为f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故选A.

2．设函数f(x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,x)－3))－eq\f(a,x)，若不等式f(x)≤0有正实数解，则实数a的最小值为________．

【解析】原问题等价于存在x∈(0，＋∞)，使得a≥ex(x2－3x＋3)，令g(x)＝ex(x2－3x＋3)，x∈(0，＋∞)，则a≥g(x)min，而g′(x)＝ex(x2－x)．由g′(x)0可得x∈(1，＋∞)，由g′(x)0可得x∈(0，1)．据此可知，函数g(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为g(1)＝e.综上可得，实数a的最小值为e.

3．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x－1.

(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；

(2)若不等式f(x)≤ag(x)对任意的x∈(1，＋∞)均成立，求实数a的取值范围．

【解析】(1)因为f′(x)＝eq\f(1,x)，

所以f′(1)＝1.

又f(1)＝0，所以切线的方程为y－f(1)＝f′(1)(x－1)，

即所求切线的方程为y＝x－1.

(2)易知对任意的x∈(1，＋∞)，f(x)＞0，g(x)＞0.

①当a≥1时，f(x)≤g(x)≤ag(x)；

②当a≤0时，f(x)＞0，ag(x)≤0，所以不满足不等式f(x)≤ag(x)；

③当0＜a＜1时，设φ(x)＝f(x)－ag(x)＝lnx－a(x－1)，则φ′(x)＝eq\f(1,x)－a，

令φ′(x)＝0，得x＝eq\f(1,a)，

当x变化时，φ′(x)，φ(x)的变化情况下表：

x

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))

eq\f(1,a)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))

φ′(x)

＋

0

－

φ(x)



极大值



所以φ(x)max＝φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＞φ(1)＝0，不满足不等式．

综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．

4．已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝eq\f(lnx,x).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)?x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围．

【解析】(1)因为f′(x)＝a－ex，x∈R.

当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在R上单调递减；

当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝lna.

由f′(x)＞0得f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)；

由f′(x)＜0得f(x)的单调递减区间为(lna，＋∞)．

(2)因为?x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex，

则ax≤eq\f(lnx,x)，即a≤eq\f(lnx,x2).

设h(x)＝eq\f(lnx,x2)，则问题转化为a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x2)))eq\s\do7(max)，

由h′(x)＝eq\f(1－2lnx,x3)，令h′(x)＝0，则x＝eq\r(e).

当x在区间(0，＋∞)内变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：

x

(0，eq\r(e))

eq\r(e)

(eq\r(e)，＋∞)

h′(x)

＋

0

－

h(x)

单调递增

极大值eq\f(1,2e)

单调递减

由上表可知，当x＝eq\r(e)时，函数h(x)有极大值，即最大值为eq\f(1,2e).所以a≤eq\f(1,2e).

5．已知函数f(x)＝lnx－a(x＋1)，a∈R，在(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若存在x01，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)－eq\f(x2,2)＋2x＋eq\f(1,2)k(x－1)成立，求k的取值范围．

【解析】(1)由已知可得f(x)