2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第51讲抛物线教师版.docVIP

第51讲抛物线

思维导图

知识梳理

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

2．抛物线的标准方程和几何性质

标准

y2＝2px(p＞0)

y2＝－2px(p＞0)

x2＝2py(p>0)

x2＝－2py(p>0)

方程

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为eq\a\vs4\al(\f(p,2).)

图形

顶点

O(0,0)

对称轴

x轴

y轴

焦点

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))

离心率

e＝1

准线方程

x＝－eq\f(p,2)

x＝eq\f(p,2)

y＝－eq\f(p,2)

y＝eq\f(p,2)

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

开口方向

向右

向左

向上

向下

焦半径(其中P(x0，y0))

|PF|＝x0＋eq\f(p,2)

|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)

|PF|＝y0＋eq\f(p,2)

|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)

题型归纳

题型1抛物线的定义及应用

【例1-1】(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()

A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2) D．2

(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

【解析】(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.

又点P到焦点F的距离为2，

∴由定义知点P到准线的距离为2.

∴xP＋1＝2，∴xP＝1.

代入抛物线方程得|yP|＝2，

∴△OFP的面积为S＝eq\f(1,2)·|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×1×2＝1.

(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.

【答案】(1)B(2)4

【跟踪训练1-1】若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．

【解析】过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．

【答案】(2,2)

【跟踪训练1-2】已知抛物线y＝eq\f(1,2)x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝eq\r(2)|NF|，则|MF|＝________.

【解析】如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝eq\r(2)|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝eq\r(2)|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝eq\r(2).

【答案】eq\r(2)

【名师指导】

与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．

题型2抛物线的标准方程与几何性质

【例2-1】(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝()

A．2 B．3

C．4 D．8

(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为()

A．y2＝9x B．y2＝6x

C．y2＝3x D．y2＝eq\r(3)x

【解析】(1)∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴由已知得椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一个焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，

∴3p－p＝eq\f(p2,4)，又p>0，∴p＝8.

(2)如图，分别过点A，B作准线的