江苏省无锡市江阴市两校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题.docx

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江苏省无锡市江阴市两校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（????）

A． B． C． D．

3．△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为

A．19 B．14 C．-18 D．-19

4．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（????）

A．45° B．135°

C．90° D．45°或135°

5．已知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

6．已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（????）

A．2 B．3 C． D．

7．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（????）

A．越小越费力，越大越省力

B．的范围为

C．当时，

D．当时，

8．如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为，两底面对角线、的长分别为、，水深为.则玻璃容器里面水的体积是（????）

??

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列命题中是真命题的是（????）

A．在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD是菱形

B．若点G为的外心，则

C．向量，能作为平面内的一组基底

D．若O为△所在平面内任一点，且满足，则△为等腰三角形

10．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（????）

A．

B．若，则只有一解

C．若为锐角三角形，则b取值范围是

D．若D为边上的中点，则的最大值为

11．如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折至的位置．若为线段的中点，在翻折过程中（平面），下列结论正确的是（????）

A．三棱锥体积最大值为； B．直线平面；

C．直线与所成角为定值； D．存在，使．

三、填空题

12．已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为.

13．点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为.

14．若正三棱台中上底的边长为1，下底的边长为2，侧棱长为1，则它的表面积为，与所成角的余弦值为．

四、解答题

15．将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：．已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且．

（1）若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出的值；若不能，请说明理由；

（2）若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角．

16．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．

(1)判断多面体是否为棱柱并说明理由；

(2)求多面体的体积；

(3)求证：平面平面AB1D．

17．已知梯形中，，，，E为的中点，连接AE.

(1)若，求证：B，F，D三点共线；

(2)求与所成角的余弦值；

(3)若P为以B为圆心、BA为半径的圆弧（包含A，C）上的任意一点，当点在圆弧（包含A，C）上运动时，求的最小值．

18．在①；②；③设的面积为，且．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．

在中，角，，的对边分别为，，，且_____，．

(1)若，求的面积；

(2)求周长的范围

(3)若为锐角三角形，求的取值范围．

19．已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点．

??

(1)请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置；

(2)求证：平面；

(3)当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值?若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由．

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参考答案：

1．B

【详解】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.

2．A

【分析】求出底面半径和高，利用圆锥的体积公式即可求解.

【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为，

由，则，

则圆锥的体积为.

故选：A

3．D

【解析】运用余弦定理