专题08-三角函数与平面向量(重难点突破)教师版.docx

专题08三角函数与平面向量

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【重难点题型突破】：

三角恒等变换

例1．（福建省永安市第三中学2021届高三期中）已知函数的图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）若角满足，．求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由图象知，最小正周期，

即，所以，故．

因为的图象经过点，

所以，故

所以，

解得．

又因为，所以，

所以．

（2）由得，

即．

因为，所以，

故，

所以，

．

因此，

．

（福建省龙岩市六市区一中2021届高三联考）

①函数，

②函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，的图像关于原点对称.

在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：

“已知_______，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为.”

（1）求的值；

（2）求函数在上的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）选择条件①：

即有：

又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，

从而，

选择条件②：

依题意，相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，

，，

又的图像关于原点对称，则，由知，

从而，

（2），令，

解得，

从而在上的单调递增区间为

例3．（福建省龙岩市六市区一中2021届高三联考）（1）已知角的终边上有一点，求的值.

（2）已知，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）原式

因为知角的终边上有一点，根据任意角三角函数的定义可知：，

故原式.

（2）由，可得

，

，

又

.

解三角形

例4．（福建省莆田第一中学2021届高三期中）在①，②，③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△，它的内角，，的对边分别为，，，且，，________.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】选条件①；选条件②；选条件③无解.

【解析】

由结合正弦定理可得：，

因为，所以，

因为，所以，

因为，所以，因为，所以，所以，

由余弦定理得，所以，

选择条件①的解析：根据，结合正弦定理得，

联立方程组解得：，所以△的面积，

选择条件②的解析：

联立方程组，化简得：，解得.

所以△的面积.

选择条件③的解析：由得，

与矛盾，所以问题中的三角形不存在.

故答案为：选条件①；选条件②；选条件③无解

例5．（福建省莆田第一中学2021届高三期中）在中，，为线段边上一点，，．

（1）若，求；

（2）若，求．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）考察，记，

由余弦定理得：，

即化简得：，

∴或6，

由，，∴，

∴为钝角，∴，∴．

（2）记，则，

由可得，

考察，由正弦定理可得：即，

∴，

化简得：，

∴，即．

例6．（福建省厦门双十中学2021届高三期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.

（1）求角的大小；

（2）设点是的中点，若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）在中，

由正弦定理，可得，

因为，

所以，

所以，

即，即，可得，

又因为，所以.

（2）如图，延长到，满足，连接，

则为平行四边形，且，

在中，由余弦定理得，

即，可得，即，

由基本不等式得：，

即，即，可得

（当且仅当取等号号）

又由，即，

故的取值范围是.

例7．（福建省莆田第二十五中学2021届高三期中）在中，角A，B，C对边分别为若.

（1）求角A；

（2）若，且的外接圆半径为1，求的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】

因为.

由正弦定理得,从而可得,

又C为三角形的内角,所以,于是,

又A为三角形内角,因此.

（2）设的外接圆半径为R,则,,

由余弦定理得,即,

所以.所以的面积为：.