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大题保分练2

1．(2023·佛山模拟)如果数列{an}对任意的n∈N*，an＋2－an＋1>an＋1－an，则称{an}为“速增数列”．

(1)请写出一个速增数列{an}的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；

(2)若数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1＝1，a2＝3，ak＝2023，求正整数k的最大值．

解(1)取an＝2n，

则an＋2－an＋1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n，

因为2n＋1>2n，所以an＋2－an＋1>an＋1－an，

所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2n))是“速增数列”．

(2)当k≥2时，

ak＝2023＝(ak－ak－1)＋(ak－1－ak－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，

因为数列{an}为“速增数列”，

所以ak－ak－1>ak－1－ak－2>…>a3－a2>a2－a1＝2，且an∈Z，

所以(ak－ak－1)＋(ak－1－ak－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1≥k＋k－1＋…＋3＋2＋1，

即2023≥eq\f(k?k＋1?,2)，k∈Z，

当k＝63时，eq\f(k?k＋1?,2)＝2016，

当k＝64时，eq\f(k?k＋1?,2)＝2080，

故正整数k的最大值为63.

2．(2023·吉安模拟)党的二十大报告提出，要推进健康中国建设，把保障人民健康放在优先发展的战略位置，完善人民健康促进政策．《国务院关于印发全民健身计划(2021—2025年)的通知》中指出，深入实施健康中国战略和全民健身国家战略，加快体育强国建设，构建更高水平的全民健身公共服务体系，充分发挥全民健身在提高人民健康水平、促进人的全面发展、推动经济社会发展、展示国家文化软实力等方面的综合价值与多元功能．如图为2018年～2022年的年份序号x(2018年的年份序号为1)与我国健身人数y(百万人)的变化情况折线图．

以上数据图中的每个样本点产生的概率都是eq\f(1,5)，已知D(X)＝E(X2)－E2(X)，其中E(X)表示X的均值．

(1)求线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x的皮尔逊相关系数(保留3位有效数字)；

(2)求y关于x的线性回归方程．

参考数据及公式：eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝396747，eq\r(212272)≈460.7.v和u两个随机变量之间的皮尔逊相关系数为r(v，u)＝eq\f(E?vu?－E?v?E?u?,\r(D?v?D?u?))，线性回归方程eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u中，eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)?ui－\x\to(u)??vi－\x\to(v)?,\i\su(i＝1,n,)?ui－\x\to(u)?2).

解(1)由折线图可得

E(x)＝eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,x)i＝3，

E(y)＝eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,y)i＝279.8，

D(x)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)－E2(x)＝2，

D(y)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(y)2＝1061.36，

E(xy)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝885.4，

∴r(x，y)＝eq\f(E?xy?－E?x?E?y?,\r(D?x?D?y?))＝eq\f(46,\r(2122.72))≈0.998.

(2)设线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，

则eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)?xi－\x\to(x)??yi－\x\to(y)?,\i\su(i＝1,5,)?xi－\x\to(x)?2)＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(4427－4197,55－5×32)＝23，

eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝27