综合训练03函数的概念与性质（14种题型60题专练）（解析版）.docx

综合训练03函数的概念与性质（14种题型60题专练）

一．函数的定义域及其求法（共3小题）

1．（2023?东城区一模）函数的定义域为（0，1]．

【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立取交集即可．

【解答】解：要使有意义，则，解得0＜x≤1．

所以原函数的定义域为（0，1]．

故答案为（0，1]．

【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值范围，是基础题．

2．（2023?湖北模拟）函数的定义域是（）

A．（﹣∞，1） B．（0，+∞） C．（0，1） D．（﹣∞，0]

【分析】利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可．

【解答】解：由，得，解得x≤0，

所以函数的定义域为（﹣∞，0]．

故选：D．

【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．

3．（2023?泸县校级模拟）已知函数f（x）＝的定义域为R．

（1）求实数m的范围；

（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足+＝n时，求4a+7b的最小值．

【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可得出；

（2）利用柯西不等式的性质即可得出．

【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣4|﹣m≥0在R上恒成立，即m≤（|x+2|+|x﹣4|）min，

∴|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|＝6，∴m≤6；

（2）由（1）知n＝6，4a+7b＝（4a+7b）（+）＝[（a+5b）+（3a+2b）]（+）≥，

当且仅当a＝，b＝时取等号，

∴4a+7b的最小值为．

【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二．函数的值域（共7小题）

4．（2023?全国模拟）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2．已知，，则函数f（x）的值域为（）

A．{4，6，8} B．{4，5，6} C．{4，5，6，7，8} D．{4，8}

【分析】根据函数的单调性先求出函数的值域，再由已知定义可求．

【解答】解：易知，在上单调递减，[2，6）上单调递增．

当x＝2时，；当时，；当x＝6时，，

所以，则函数f（x）的值域为{4，5，6，7，8}．

故选：C．

【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数单调性在函数最值求解中的应用，属于基础题．

5．（2023?沈阳三模）已知函数，若f（x）的值域是R，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，0] B．[0，1] C．[0，+∞） D．（﹣∞，1]

【分析】y＝x+1与y＝2x有两个交点（0，1），（1，2），结合图象可确定实数a的取值范围．

【解答】解：函数y＝x+1在（﹣∞，a]上为增函数，值域为（﹣∞，a+1]，如图：

y＝2x（x＞a）的值域为（2a，+∞），

又y＝x+1与y＝2x有两个交点（0，1），（1，2）要使函数f（x）的值域为R，

则0≤a≤1．

故选：B．

【点评】本题考查分段函数的值域，属于基础题．

6．（2023?安徽三模）函数的值域是[2，+∞）．

【分析】分段分别求出函数f（x）的值域，最后取并集即可．

【解答】解：函数，

当x≤2时，f（x）＝﹣x+4≥2，

当x＞2时，f（x）＝1+log2x＞2，

所以函数f（x）的值域为[2，+∞）．

故答案为：[2，+∞）．

【点评】本题主要考查了求函数的值域，属于基础题．

7．（2023?虹口区二模）对于定义在R上的奇函数y＝f（x），当x＞0时，，则该函数的值域为（﹣∞，﹣5]∪{0}∪[5，+∞）．

【分析】根据奇函数的性质求得f（0）＝0，再结合基本不等式求x＞0时y＝f（x）的取值范围，再结合奇函数的性质求x＜0时函数值的范围，由此可得函数值域．

【解答】解：因为y＝f（x）为R上的奇函数

所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（0）＝0，

又当x＞0时，2x+1＞2，

所以＝2x+1+﹣1≥2﹣1＝5，

当且仅当x＝1时等号成立，

即当x＞0时，f（x）≥5，

因为y＝f（x）为R上的奇函数，

所以函数y＝f（x）的图象关于原点对称，所以x＜0时，f（x）≤﹣5，

所以函数y＝f（x）的值域为（﹣∞，﹣5]∪{0}∪[5，+∞）．

故答案为：（﹣∞，﹣5]∪{0}∪[5，+∞）．

【点评】本题考查函数的值域和奇偶性，属于基础题．

8．（2023?南部县校级模拟）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，区间[a，b