大题保分练2　数列、三角函数、立体几何、概率与统计、选考2选1.doc

大题保分练(二)数列、三角函数、立体几何、概率与统计、选考2选1

1．在数列{an}中，已知各项都为正数的数列{an}满足5an＋2＋4an＋1－an＝0.

(1)证明数列{an＋an＋1}为等比数列；

(2)若a1＝eq\f(1,5)，a2＝eq\f(1,25)，求{an}的通项公式．

[解](1)证明：各项都为正数的数列{an}满足5an＋2＋4an＋1－an＝0，得an＋1＋an＋2＝eq\f(1,5)(an＋1＋an)，

所以数列{an＋an＋1}是公比为eq\f(1,5)的等比数列．

(2)因为a1＝eq\f(1,5)，a2＝eq\f(1,25)，所以a1＋a2＝eq\f(6,25)，

由(1)知数列{an＋an＋1}是首项为eq\f(6,25)，公比为eq\f(1,5)的等比数列，所以an＋an＋1＝eq\f(6,25)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(n－1)，

于是an＋1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(n＋1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(n)))，a1－eq\f(1,5)＝0，

所以an－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(n)＝0，即an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(n).

2．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))，\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))))，b＝(sinx，cosx)，f(x)＝a·b.

(1)求f(x)的最大值及f(x)取得最大值时x的取值集合M；

(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若eq\f(C,2)＋eq\f(π,4)∈M且c＝1，求△ABC面积的最大值．

[解](1)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))，\r(3)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))))＝(cosx，－eq\r(3)cosx)，b＝(sinx，cosx)，f(x)＝a·b＝sinxcosx－eq\r(3)cos2x＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)，∴f(x)的最大值为1－eq\f(\r(3),2)，

此时2x－eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)，

即x＝kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z，

∴M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).

(2)∵eq\f(C,2)＋eq\f(π,4)∈M，

∴eq\f(C,2)＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(5π,12)，C＝2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，

∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3)，

c2＝1＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab≥ab，∴ab≤1，

∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab≤eq\f(\r(3),4)，

所以△ABC面积的最大值eq\f(\r(3),4).

3.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD＝NB＝1.证明：

(1)NC∥平面ADM；

(2)DN⊥平面ACM.

[证明](1)∵ABCD是正方形，BC∥AD，∴BC∥平面AMD，

又MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB，

∴NB∥平面AMD，

所以平面BNC∥平面AMD，故NC∥平面ADM.

(2)设AC∩BD＝O，MO∩DN＝H.

由(1)，得MD∥NB，由已知，得MD＝NB＝1，所以四边形MNBD为平行四边形，

因为MD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以MD⊥BD，

所以平行四边形MNBD为矩形，且MN＝