试题练习第七章 742.doc

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7.4.2超几何分布

新版课程标准

学业水平要求

1.结合生活中的实例,了解超几何分布

2.了解超几何分布的均值及其意义

1.结合教材实例,了解超几何分布的概念.(数学抽象)

2.会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值.(数学运算)

3.了解超几何分布与二项分布的关系,能利用超几何分布概率模型解决实际问题.(数学建模)

必备知识·素养奠基

超几何分布

(1)定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品的次品数,则X的分布列为PX=k=

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m=max0,n-

(2)均值:EX=np,其中p=MN

不放回抽取和有放回抽取有何不同?

提示:抽取次数不同,不放回抽取只抽取一次,一次抽取n个,有放回抽取要抽取n次,每次抽取一个;概率模型不同,不放回抽取服从超几何分布,有放回抽取服从二项分布.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数X服从超几何分布.()

(2)盒中有4个白球和3个黑球,有放回地摸取3个球,黑球的个数X服从超几何分布.()

(3)某射手的命中率为0.8,现对目标射击3次,命中目标的次数X服从超几何分布.()

提示:(1)×.正面向上的次数X服从二项分布.

(2)√.由超几何分布的定义,黑球的个数X服从超几何分布.

(3)×.命中目标的次数X服从二项分布.

2.在10个村庄中,有4个村庄交通不方便,若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数,则X服从超几何分布,其参数为()

A.N=10,M=4,n=6

B.N=10,M=6,n=4

C.N=14,M=10,n=4

D.N=14,M=4,n=10

【解析】选A.根据超几何分布概率模型知N=10,M=4,n=6.

3.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为()

A.C804C106C10010 B.

【解析】选D.若随机变量X表示任取10个球中红球的个数,则X服从参数为N=100,M=80,n=10的超几何分布.取到10个球中恰有6个红球,即X=6,P(X=6)=C80

关键能力·素养形成

类型一超几何分布模型的概率

【典例】1.一批产品共50件,其中5件次品,45件正品,从这批产品中任意抽2件,则出现2件次品的概率为()

A.2245 B.

C.47245

2.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困,现从中任意选3个村,下列事件中概率等于67

A.至少有1个深度贫困村

B.有1个或2个深度贫困村

C.有2个或3个深度贫困村

D.恰有2个深度贫困村

【思维·引】1.从这批产品中任意抽2件,出现的次品数服从超几何分布,直接利用公式计算;

2.分别利用超几何分布的概率公式计算验证.

【解析】1.选A.出现2件次品的概率为C52C

2.选B.用X表示这3个村庄中深度贫困村数,则X服从超几何分布,所以P(X=k)=C3

P(X=0)=C43C30C7

P(X=2)=C41C32C7

所以P(X=1)+P(X=2)=67

即有1个或2个深度贫困村的概率为67

【内化·悟】

本例2中对于含有“至少”、“或”的事件,求概率时要注意什么?

提示:含有“至少”的事件可以考虑求其对立事件的概率;含有“或”的事件应该考虑其中的两个事件是否互斥,利用互斥事件和的概率求值.

【类题·通】

关于超几何分布的概率求法

首先明确随机变量是否服从超几何分布,把握等可能、不放回两个特点;其次是明确公式中的参数,即N,M,n的值各是什么;最后代入公式计算概率.

【习练·破】

在20件产品中,有15件一级品,5件二级品,从中任取3件,其中至少有一件为二级品的概率是________.?

【解析】设随机变量X表示取出二级品的件数,则P(X=1)=C51C152C203=3576

所以P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=3576+538+1114

答案:137

类型二超几何分布模型的分布列

【典例】为了解学生的身体素质情况,现从我校学生中随机抽取10人进行体能测试,测试的分数(百分制)依次为:52,65,72,78,86,86,86,87,87,88.根据有关国家标准,成绩不低于79分的为优秀,从这10人中随机选取3人,记X表示测试成绩为“优秀”的学生人数,求X的分布列.

【思维·引】先确定X的取值,再按照超几何分布概率公式分别计算概率,列出分布列.

【解析】由题意可得,X的取值可能为0,1,2,3,

P(X=0)=C