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福建省福州市2024届高三第三次质量检测数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知复数满足,则(???)
A. B.1 C. D.
2.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴非负半轴重合,为其终边上一点,则(???)
A. B.4 C. D.1
3.函数的图象大致为(???)
A. B.
C. D.
4.在菱形中,若,且在上的投影向量为,则(???)
A. B. C. D.
5.已知,则(???)
A. B. C. D.
6.棱长为1的正方体中,点P为上的动点,O为底面ABCD的中心,则OP的最小值为(????)
A. B. C. D.
7.若直线与曲线相切,则的取值范围为(????)
A. B. C. D.
8.函数在上单调递增,且对任意的实数,在上不单调,则的取值范围为(???)
A. B. C. D.
二、多选题
9.双曲线的左、右焦点分别为,且的两条渐近线的夹角为,若(为的离心率),则(???)
A. B.
C. D.的一条渐近线的斜率为
10.定义在上的函数的值域为,且,则(???)
A. B.
C. D.
11.投掷一枚质地均匀的硬币三次,设随机变量.记A表示事件“”,表示事件“”,表示事件“”,则(???)
A.和互为对立事件 B.事件和不互斥
C.事件和相互独立 D.事件和相互独立
三、填空题
12.展开式中的常数项为.
13.已知圆锥的体积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则它的母线长为.
14.设为数列的前项积,若,其中常数,则(结果用表示);若数列为等差数列,则.
四、解答题
15.中,角的对边分别是,且.
(1)求;
(2)若面积为,求边上中线的长.
16.如图,在三棱柱中,平面平面,.
??
(1)设为中点,证明:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17.从一副扑克牌中挑出4张Q和4张K,将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中,剩余的2张Q和2张K放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌,若抽出Q,则把它放回袋中:若抽出K,则该扑克牌不再放回,并将袋外的一张Q放入袋中.如此操作若干次,直到将袋中的K全部置换为Q,
(1)在操作2次后,袋中K的张数记为随机变量X,求X的分布列及数学期望;
(2)记事件“在操作次后,恰好将袋中的全部置换为”为,记.
(ⅰ)在第1次取到的条件下,求总共4次操作恰好完成置换的概率;
(ⅱ)试探究与的递推关系,并说明理由.
18.在直角坐标系中,已知抛物线C:的焦点为F,过F的直线l与C交于M,N两点,且当l的斜率为1时,.
(1)求C的方程;
(2)设l与C的准线交于点P,直线PO与C交于点Q(异于原点),线段MN的中点为R,若,求面积的取值范围.
19.若实数集对,均有,则称具有Bernoulli型关系.
(1)若集合,判断是否具有Bernoulli型关系,并说明理由;
(2)设集合,若具有Bernoulli型关系,求非负实数的取值范围;
(3)当时,证明:.
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参考答案:
1.C
【分析】根据已知条件,结合复数的四则运算,即可求解.
【详解】,
,
.
故选:C.
2.D
【分析】根据已知条件,结合任意角的三角函数的定义,即可求解.
【详解】始边与轴非负半轴重合,,为其终边上一点,
则,且,解得.
故选:D.
3.A
【分析】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案.
【详解】因为函数的定义域为,排除CD,
又,即为偶函数,图象关于轴对称,排除B.
故选:A.
4.B
【分析】根据给定条件,结合向量减法可得,再利用投影向量的意义求出.
【详解】由,得,而是菱形,则是正三角形,
于是,,
因此在上的投影向量为,所以.
故选:B
5.B
【分析】判断出,,,即可求解.
【详解】;
,故;
,故,故.
故选:B.
6.C
【分析】由题意可得OP的最小值为点到线段的距离,借助相似三角形的性质计算即可得.
【详解】由题意可得OP的最小值为点到线段的距离,
在平面内过点作于点,
由题意可得,,,平面,
因为平面,则,因为,
故,即.
故选:C.
7.A
【分析】借助导数的几何意义计算可得,借助导数得到函数的值域即可得解.
【详解】对于,有,令切点为,则切线方程为,
即,即有,
令,则,
当时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,
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