全国数学竞赛概述.pdf

数学竞赛

意义

数学竞赛是发现人才的有效手段之一。一些重大数学竞赛的优胜者，大多在他们

后来的事业中卓有建树。因此，世界发达国家都十分重视数学竞赛活动。十余年来，

我国中学数学竞赛活动蓬勃发展，其影响越来越大，特别是我国中学生在影响最大、

水平最高的国际数学奥林匹克竞赛中，多次荣登榜首，成绩令世人瞩目，充分显示了

中华民族的聪明才智和数学才能。了解国际赛史，熟悉国内赛况，认识数赛意义是必

要的，也是有益的。

在普及的基础上不断提高“”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是

连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数

学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入一个新的阶段，为了使全国数

学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练

员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。

本大纲是在国家教委制定的“全日制中学数学教学大纲”的精神和基础上制定的。

《教学大纲》在教学目的一栏中指出；“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现

四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：对“学有余力的学生，要通过课外活动

或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，要重视能“力的培养……，着

重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综

合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独

立思考和自学的能力”。

《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中

对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，

有更高的要求。而课堂教“学。为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大

纲所列的课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步

地去掌握，并且要贯彻少而精“”的原则，这样才能加强基础，不断提高。

—试

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所

规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，

其中概率和微积分初步不考。

二试

1．平面几何

基本要求：掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。到三角形三顶

点距离的平

方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。

1

几何不等式。

简单的等周问题。了解下述定理：

在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。

在周长一定的筒单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。

复数方法、向量方法*。

平面凸集、凸包及应用。

2．代数

在一试大纲的基础上另外要求的内容：

周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。

n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。

圆排列，有重复的排列与组合。简单的组合恒等式。

一元n次方程(多项式)根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

简单的初等数论问题，除初中大纲中斯包括的内容外，还应包括无穷递降法，同

余，欧几里

得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数[x]，费马小定理，欧拉函数*，孙子定

理*，格点及其质。

3．立体几何

多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。

正多面体，欧拉定理。

体积证法。

截面，会作截面、