斜中半基础练习.docx

【定理：斜中半】

已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC的中线，则：BC＝2AD．

【证明】：

延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，

∵AD是斜边BC的中线∴BD＝CD

∵∠ADB＝∠EDC，AD＝DE

∴△ADB≌△EDC（SAS）

∴AB＝CE，∠B＝∠DCE

∴AB∥CE∴∠BAC+∠ACE＝180°

∵∠BAC＝90°∴∠ACE＝90°

∵AB＝CE，∠BAC＝∠ECA＝90°，AC＝CA

∴△ABC≌△CEA（SAS）

∴BC＝EA

∵AE＝2AD

∴BC＝2AD

【逆定理】

如图，CD是△ABC的中线，CD＝AB．则△ABC为直角三角形．

【证明】：

∵CD是△ABC的中线

∴AD＝BD＝AB，

∵CD＝AB，

∴AD＝CD＝BD，

∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，

在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180°

∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，

∴∠A+∠B＝90°，

∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°，

∴△ABC为直角三角形

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为．

【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．

【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，

∴CD=12

又∵EF是△ABC的中位线，

∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，

∴EF=12×

故答案为：5．

【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（）

A．2 B．3 C．4 D．23

【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5，进而得出DE＝3，利用勾股定理解答即可．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，

∴AE＝CE＝5，

∵AD＝2，

∴DE＝3，

∵CD为AB边上的高，

∴在Rt△CDE中，CD=C

故选：C．

【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5．

如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC＝2EF＝4．

【解答】解：如图，连接AF．

∵AB＝AD，F是BD的中点，

∴AF⊥BD．

∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2，

∴AC＝2EF＝4．

故选：B．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键．

如图∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分别是AB、CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为（）

A．12 B．30 C．27 D．32

【分析】先根据直角三角形的性质求出DF与CF的长，再由等腰三角形的性质求出DE的长，根据勾股定理求出EF的长，进而可得出结论．

【解答】解：∵ADB＝∠ACB＝90°，F是AB的中点，AB＝26，

∴DF＝CF=12AB

∴△CDF是等腰三角形．

∵点E是CD的中点，CD＝24，

∴EF⊥CD，DE=12

在Rt△DEF中，DE=D

∴△DEF的周长为：DF+DE+EF＝13+12+5＝30．

故选：B．

【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（）

A．5 B．7 C．3 D．7

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF=12AB，EF=

【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，

∴DE＝DF=12

∵AB＝AC，AF⊥BC，

∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，

∵BE⊥AC，

∴EF=12

∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，

∴AB＝4，

由勾股定理知AF=A

故选：B．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．

如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC