多元一次不定方程的完整讲义和练习.pdfVIP

二元一次不定方程

知识要点和基本方法

1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数

的一次不定方程

2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正

整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解

例．解方程xy

1

38

xyyxx

解：由原方程，易得因此，对的意一个值，都有一个与之对应，此时

83

yxy

与的值必定满足原方程，故这样的与是原方程的一组解，即原方程的解可表为

xk

83

k

其中为意数

yk

整数解问题：

xy

例．求方程的整数解

2368

xyxyxyxy

解：因为，所以，不论与取何整数，总有但不能整

363(2)336,3

xyxy

除，因此，不论与取何整数，都不可能等于，即原方程无整数解

8368

axbycabd

定理：整系数方程有整数解的充分而且必要条件是与的最大公约数能整除

1

c

例．求方程xy的整数解

3

41034

解：因为与的最大公约数为，而是的倍数，由定理得，原方程有整数解。

4102342

172x

xyyyx

两边约去后，得故

22517,，因此，要使取得整数，，

172=15

5

yxy

，即我们找到方程的一组解设原方程的所有解的表达式为：

301,03,

xm

1

mnmnmn

代原方程，得（为整数）与互

25

