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导数小题中构造函数的技巧

函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

（一）利用f(x)进行抽象函数构造

1

1、利用f(x)与x构造；常用构造形式有xf(x),f(x)；这类形式是对u?v,u型函

x

v

数导数计算的推广及应用，我们对u?v,u的导函数观察可得知，u?v型导函数中

v

体现的是“?”法，u型导函数中体现的是“”法，由此，我们可以猜测，当

v

导函数形式出现的是“?”法形式时，优先考虑构造u?v型，当导函数形式出现

的是“－”法形式时，优先考虑构造u，我们根据得出的“优先”原则，看一看

v

例1，例2.

【例1】f(x)是定义在R上的偶函数，当x?0时，f(x)?xf(x)?0，且

f(?4)?0，则不等式xf(x)?0的解集为

【解析】构造F(x)?xf(x)，则F(x)?f(x)?xf(x)，当x?0时，f(x)?xf(x)?0，

可以推出x?0，F(x)?0，F(x)在(??,0)上单调递减.∵f(x)为偶函数，x为奇函数，所以F(x)为奇函数，∴F(x)在(0,??)上也单调递减.根据f(?4)?0可得F(?4)?0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知xf(x)?0的解

集为(??,?4)?(0,4).

???思路点拨：出现“?”形式，优先构造F(x)?xf(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.

【例2】设

f(x)是定义在R上的偶函数，且

f(1)?0，当x?0时，有

xf(x)?f(x)?0恒成立，则不等式f(x)?0的解集为

xf

xf(x),f(x)是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式，如果碰见复杂的，

x

不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.

我们根据得出的结论去解决例3题

【例3】已知偶函数f(x)(x?0)的导函数为f(x)，且满足f(?1)?0，当x?0

xf(x)?f(x)?0，可以推出x?0，F(x)?0，F(x)在(??,0)上单调递增.∵f(x)为偶函数，x为奇函数，所以F(x)为奇函数，∴F(x)在(0,??)上也单调递减.根据f(1)?0可得F(1)?0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知

f(x)?0的解集为(??,?1)?(1,??).

f(x)?x?f(x)

，当x?0时，

x2

，则F(x)?

f(x)

x

【解析】构造F(x)?

然后利用函数的单调

F(x)?f(x)

x

???思路点拨：出现“ ”形式，优先构造

性、奇偶性和数形结合求解即可.

xn

出现xf(x)?nf(x)形式，构造函数F(x)?f(x).

结论：

出现nf(x)?xf(x)形式，构造函数F(x)?xnf(x)；

；

xf(x)?nf(x)

xn?1

f(x)?xn?nxn?1f(x)?

x2n

，F(x)?

f(x)

xn

F(x)?

F(x)?xnf(x)，F(x)?nxn?1f(x)?xnf(x)?xn?1[nf(x)?f(x)]；

时，2f(x)?xf(x)，则使得f(x)?0成立的x的取值范围是

x

xn

然后利用

F(x)?f(x)

???思路点拨：满足“xf(x)?nf(x)”形式，优先构造

函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.

【解析】构造F(x)?

【解析】构造F(x)?

f(x)

x2

，则F(x)?

f(x)?x?2f(x)

，当x?0时，

x3

xf

xf(x)?2f(x)?0，可以推出x?0，F(x)?0，