导数必会题型(含答案).docVIP

PAGE4

1．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为()

A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0

C．x－y＋2＝0D．x－y－2＝0

解析：∵y＝2x－x3，

∴y′＝2－3x2，y′|x＝－1＝2－3＝－1.

于是，它在点(－1，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋1)，

即x＋y＋2＝0.

答案：A

2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝()

A．－1B．－2

C．1D．2

解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝2

∴f′(1)＝－2.

答案：B

3．．下列图象中有一个是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝()

图1

A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(5,3)D．－eq\f(5,3)

解析：f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∵a≠0，

∴其图象为最右侧的一个．

由f′(0)＝a2－1＝0，得a＝±1.

由导函数f′(x)的图象可知，a0，

故a＝－1，f(－1)＝－eq\f(1,3)－1＋1＝－eq\f(1,3).

答案：B

4．当a＞1时，函数y=logax和y=(1-a)x的图像只可能是()

答案：B

5.函数f(x)=log(5-4x-x2)的单调减区间为()

A.(-∞，-2) B.［-2，+∞］ C.(-5，-2) D.［-2，1］

答案;C

6.a=log0.50.6，b=log0.5，c=log，则()

A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.c＜a＜b

答案;B

7．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．

解析：设P(x0，y0)(x00)，由题意知：y′|＝3xeq\o\al(2,0)－10＝2，

∴xeq\o\al(2,0)＝4.∴x0＝－2，y0＝15.

∴P点的坐标为(－2,15)．

答案：(－2,15)

8．函数y＝－eq\f(1,2x2)－lnx的递增区间是________．

解析：∵y′＝eq\f(1,x3)－eq\f(1,x)＝eq\f(1－x2,x3)，定义域为(0，＋∞)，当x∈(0,1)，y′0.∴函数的递增区间为(0,1)．

答案：(0,1)

9、已知函数．若在[1，＋∞上是增函数，求实数a的取值范围

解：．∵x≥1．∴，当x≥1时，是增函数，其最小值为．∴a＜0（a＝0时也符合题意）．∴a≤0．

10．已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。

（I）求实数b的值；

（II）求函数f（x）的单调区间；

解：（I）由

（II）由（I）可得

从而

，故：

（1）当

（2）当

综上，当时，函数的单调递增区间为，

单调递减区间为（0，1）；

当时，函数的单调递增区间为（0，1），

单调递减区间为。

11．已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求的单调区间；

（Ⅰ）解：当时，

所以曲线在点处的切线方程为

（Ⅱ）解：，令，解得

因为，以下分两种情况讨论：

（1）若变化时，的变化情况如下表：

+

-

+

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。

（2）若，当变化时，的变化情况如下表：

+

-

+

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是

12.函数若在其定义域内是增函数，求b的取值范围

解:知恒成立，，

13.设函数f(x)＝x2＋bln(x＋1),若对定义域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求实数b的值

解：（1）由x+1＞0得x＞–1∴f(x)的定义域为(-1，+∞),对x∈(-1，+∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/(1)=0,解得b=-4