二次方程根分布.doc

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一元二次方程根的分布情况

引例：方程两根均大于0？求k的范围。

变式：方程两根均大于1？求k的范围。

，对吗？

设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与的大小比较）

分布情况

两根都小于即

两根都大于即

一个根小于，一个大于即

大致图象（）

得出的结论

表二：（根在区间上的分布）

分布情况

两根都在内

两根有且仅有一根在内

（图象有两种情况，只画了一种）

一根在内，另一根在内，

大致图象（）

得出的结论

或

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是

时，；

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：

（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况：

若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求；

方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或

例1、对于关于x的方程求满足下列条件的m的取值范围

（1）两个正根（2）有两个负根

（3）两个根都小于-1（4）两个根都大于1/2

（5）一个根大于2，一个根小于2（6）两个根都在（0，2）内

（7）两个根有且仅有一个在（0.2）内

（8）一个根在（-2.0）内，另一个根在（1.3）内

（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大

（10）一个根小于2，一个根大于4

例2、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。

解：由即，从而得即为所求的范围。

例3、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。

解：由

或即为所求的范围。

例4、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。

解：由即即为所求的范围。

例5、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。

解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则即为所求范围。

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验，均不复合题意，计算量稍大）

练习：

1、m为何值时，

（1）有两实根；（2）有一个正根一个负根；（3）正根的绝对值比负根的绝对值大；（4）两根都大于1。

2、的两根分别在和，求m的范围。

3、方程两根都大于1

4、方程有且仅有两个不同的实数根，求a。

5、方程有两负根，求k的范围

6、方程有两负根，求k范围

7、方程两根比1大，求k范围