第2章-离散系统的振动微分方程.ppt

2.1.1.实际系统的离散化工程实际中，即使是一台很简单的机器，也是由无限多个质点组成的，这些质点之间既有弹性，也有阻尼。----连续系统任何实际系统的质量、弹性和阻尼都是连续分布的。因此，用质点动力学的方法作系统分析时，必须用无穷多个微分方程来表示。简化力学模型的依据系统本身的复杂程度外界作用形式分析精度等等简化方法：对系统质量、弹性和阻尼集中处理机器中弹性较小而质量较大的构件可以简化成不计弹性的集中质量；质量较小而弹性较大的构件可以简化成不计质量的弹簧；构件之间阻尼较大的部分用不计质量和弹性的阻尼器表示。将某些质量、弹性和阻尼没有明显差别的构件划分成若干单元，把单元的总弹性和总阻尼作为无质量的弹性元件和阻尼元件与集中质量元件连接，从而把一个无穷多自由度的系统简化成有限个自由度的系统。（有限元FEM）图1.2-1弹性安装的柴油发电机组

(DOF=1)图1.2-2柴油机推进轴系

(DOF=8)振动特征：扭转振动参数特征：集中质量、扭转刚度自由度数：六个活塞、连杆和曲柄+一个飞轮+一个螺旋桨2.1.2．离散化的力学模型由质量元件、弹性元件和阻尼元件组成。1．质量元件无弹性，不耗能的刚体（可以忽略变形的大小）。是储存动能的元件，起到使振动物体持续运动功能的作用。图1.2-3弹性元件2．弹性元件无质量、有弹性，是储存弹簧变形势能的元件，起到使振动物体回到平衡位置的作用。在波峰或波谷位置时，弹性元件的势能最大。弹性元件有线性、非线性（渐硬型、渐软型等）特性。对于线性弹性元件，平动振动系统的力与位移之间有如下关系：弹簧刚度：一般用k表示，单位为（N/m）。3.阻尼元件耗能元件，消耗振动物体的运动动能，将机械能转化为热能。例如，由于阻尼的作用，自由振动会逐渐停止。2.2.力学基础振动微分方程的建立过程是把实际系统理想化为离散化的力学模型，并转化为数学模型的过程。2.2.1自由度和广义坐标若用某一组独立坐标（参数）就能完全确定系统在任何瞬时的位置，则这组坐标称为广义坐标。完全确定系统在任何瞬时位置所需要的独立坐标个数称为自由度。图1.2-5刚体的6个自由度一个质点在空间的自由度为3。n个毫不相干、无任何约束关系的质点系自由度为3n。一个刚体在空间的自由度数为6。m个无约束刚体的系统自由度数为6m。由于相互之间的约束，减少了系统的自由度。一个振动系统力学模型中有n个质点，m个刚体，那么它的自由度DOF（DegreeofFreedom）必定满足下列方程：图１.２-６单摆运动例题1(1).在平面内运动的单摆；方法一：用转角θ来建立广义坐标，则DOF=1方法二：用直角x、y来建立广义坐标，则由于有约束方程：则DOF=2-1=1结论：对于一个确定的振动系统，自由度的个数不会因为广义坐标的不同而改变。图1.2-8汽车前轮的横梁例题2(2).汽车前轮横梁，具有一定的质量和转动惯量，在垂直方向，具有两自由度。方法一：建立垂直方向和绕质心旋转方向的坐标图1.2-9汽车前轮的横梁方法二：在两个前轮位置分别建立垂直方向的坐标2.2.2动力学基本原理牛顿第二定律质系动量矩定理机械能守恒定律达朗伯原理拉格朗日方程2.3.1振动微分方程的建立1．单自由度系统：两种方法“力法”:是利用牛顿第二定律和质点系质量矩定理；“能量法”:是利用机械能守恒定律。下面重点介绍用“力法”来建立微分方程的步骤：(1).建立广义坐标(2).受力分析：牛顿第二定律、质点系动量矩定理。对于平动振动系统P是动量矩；T是力矩对于转动振动系统则：(3).建立振动微分方程例3：建立系统在垂直方向的振动微分方程。解:(1).建立广义坐标：取垂直方向的位移作为广义坐标。坐标原点0设在系统的静平衡位置，方向与F(t)相同为正。(2).受力分析：△为弹簧上悬挂了质量元件后产生的静伸长（△＝mg/k），弹簧的总伸长为x+△。m受到：弹性力k(x+△)，方向与x相反；阻尼力，方向与x相反；