章矩阵特征值问题数值解法分析.pdfVIP

第7章矩阵特征值问题的数值解法

教学目的

1.掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法；

2.掌握求矩阵特征值的QR方法。教

学重点及难点

重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及

反幂法求矩阵特征值的QR方法；

难点是求矩阵特征值的带原点位移的QR方法。

7.1特征值问题的性质与估计

第7章矩阵特征值问题的数值解法

对于矩阵ARn*n(或Cn*n),特征值

Axx

称为矩阵A的特征值,x为对应于的特征

称（）为特征多项式。方程（）

在很多科学与工程问题中会遇到特征值和特征向量的计算。例如

弹性薄膜的固有振动问题可描述为：求和非零函数u（x,y)，满足

−(uxx+uyy)u,(x,y),



u0,(x,y)。

0.25,以二阶均差代替二阶导数，按自然次序离散化可得下列矩阵特征值问题

1

2Buu,

h

其中矩阵B和向量u分别与第5章首先叙述

相同。在电磁学、机械和结构振动等问

固有值、临界值等问题，所以特

因为一般不能通过有限次运算准确求解方程（）0的根，而且有的问题

只需要求部分特征值和特征向量,因此特征

7.1特征值问题的性质与估计

定理7.1设A(a)Rn*n,(i1,2,,n)是A的特征值,则有

niji

(1)idet(A)

i1

nn

(2)iaiitr(A),称之为A的迹.

i1i1

的每一个特征值

n

uDi,

i1

其中D为第i个圆盘:

i

n

Diz:z−aiiaij,i1,2,,n。

j1,ji

证:设为A的任意一个特征值,

(I−A)x0。

n

(−aii)xiaijxj。

j1,ji

由于xj/xi1(ji),有

−aiiaijxj/xiaij.

jij